Time and Work — पूर्ण अध्याय (शून्य से उन्नत स्तर तक)
स्कूल परीक्षा, SSC, Railway, Banking, Police, State Exams और सभी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सबसे विस्तृत और सरल हिंदी गाइड
सबसे पहले समझते हैं कि "समय और कार्य" का अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है और इसमें हम क्या-क्या सीखेंगे
समय और कार्य (Time and Work) गणित का वह अध्याय है जिसमें हम यह पता लगाते हैं कि कोई काम कितने समय में पूरा होगा, या दिए गए समय में कितना काम हो पाएगा।
रोज़मर्रा की ज़िंदगी में हम अक्सर ऐसे सवालों का सामना करते हैं:
इन सभी सवालों के जवाब "समय और कार्य" के अध्याय में मिलते हैं। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले टॉपिक्स में से एक है।
काम पूरा करने में लगा हुआ समय — दिन, घंटे, मिनट आदि में मापा जाता है।
एक इकाई समय में किया गया काम। ज़्यादा कार्यक्षमता = कम समय।
वह पूरा काम जो किया जाना है। आमतौर पर कुल काम = 1 (या LCM) माना जाता है।
समय और कार्य के हर सवाल में तीन चीज़ें होती हैं — कार्य (Work), समय (Time), और कार्यक्षमता (Efficiency)। इन तीनों का संबंध समझ लेना ही इस अध्याय की कुंजी है।
🏗️ निर्माण कार्य: 10 मजदूर एक मकान 30 दिन में बनाते हैं। अगर 20 मजदूर लगाए जाएँ तो कितने दिन लगेंगे?
🏭 फैक्ट्री: एक मशीन 8 घंटे में 100 सामान बनाती है। दो मशीनें कितने समय में बनाएंगी?
📝 परीक्षा: एक शिक्षक 50 कॉपियाँ 5 घंटे में जाँचते हैं। 3 शिक्षक मिलकर कितने समय में जाँचेंगे?
🚰 पानी की टंकी: एक नल टंकी 6 घंटे में भरता है, दूसरा 9 घंटे में। दोनों साथ कितने समय में भरेंगे?
हर概念 को गहराई से समझें — शून्य से उन्नत स्तर तक
कार्यक्षमता का अर्थ है — एक इकाई समय में कितना काम किया जा सकता है।
मान लीजिए राम एक काम को 10 दिन में पूरा करता है। इसका मतलब है कि राम की कार्यक्षमता = 1/10 काम प्रति दिन। यानी राम हर दिन कुल काम का 10वाँ हिस्सा पूरा करता है।
अगर श्याम उसी काम को 5 दिन में पूरा करता है, तो श्याम की कार्यक्षमता = 1/5 काम प्रति दिन।
1/5 > 1/10, इसलिए श्याम राम से दुगुना तेज़ है। जिसकी कार्यक्षमता ज़्यादा, वह काम जल्दी पूरा करता है।
कार्यक्षमता महत्वपूर्ण क्यों है?
कार्यक्षमता और समय में व्युत्क्रमानुपाती (inverse) संबंध होता है। यानी अगर A, B से दुगुना तेज़ है, तो A को आधा समय लगेगा।
समय और कार्य के बीच एक बहुत ही सरल और सुंदर संबंध है:
इसी को दूसरे तरीके से भी लिखा जा सकता है:
उदाहरण: अगर एक व्यक्ति की कार्यक्षमता 1/12 (प्रति दिन) है और उसे 12 दिन काम करने हैं, तो:
कार्य = (1/12) × 12 = 1 (पूरा काम)
ये तीन सूत्र पूरे अध्याय की नींव हैं। इन्हें याद रखना बहुत ज़रूरी है। इन्हें "WET triangle" भी कहते हैं — Work, Efficiency, Time।
महत्वपूर्ण संबंध:
यह समय और कार्य का सबसे बुनियादी सिद्धांत है:
जहाँ M = मजदूरों की संख्या, D = दिन, T = घंटे/दिन, W = काम की मात्रा
सरल उदाहरण:
अगर 4 मजदूर एक काम 12 दिन में करते हैं, तो 6 मजदूर उसे कितने दिन में करेंगे?
4 × 12 = 6 × D₂
D₂ = 48/6 = 8 दिन
जब मजदूर बढ़ते हैं, तो हर दिन ज़्यादा काम होता है, इसलिए कुल समय कम लगता है। यह व्युत्क्रमानुपाती (inverse proportion) संबंध है।
छात्र अक्सर सोचते हैं कि अगर 4 मजदूर 12 दिन में काम करते हैं, तो 2 मजदूर 6 दिन में करेंगे। यह गलत है! सही उत्तर है 24 दिन (कम मजदूर = ज़्यादा समय)।
व्यक्तिगत कार्य: जब एक व्यक्ति अकेले काम करता है।
संयुक्त कार्य: जब दो या दो से अधिक व्यक्ति मिलकर काम करते हैं।
संयुक्त कार्य का नियम:
जब दो व्यक्ति साथ काम करते हैं, तो उनकी कार्यक्षमताएँ जुड़ जाती हैं।
उदाहरण:
A एक काम 10 दिन में करता है → A की 1 दिन की कार्यक्षमता = 1/10
B उसी काम को 15 दिन में करता है → B की 1 दिन की कार्यक्षमता = 1/15
संयुक्त कार्यक्षमता = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6
∴ साथ मिलकर काम 6 दिन में पूरा होगा।
अगर A अकेले x दिन में और B अकेले y दिन में काम करता है, तो साथ मिलकर काम = (x × y) / (x + y) दिन में पूरा होगा।
उपरोक्त उदाहरण: (10 × 15)/(10 + 15) = 150/25 = 6 दिन ✓
पाइप और टंकी के सवाल वास्तव में समय और कार्य के ही सवाल हैं, बस संदर्भ अलग है।
यह धनात्मक कार्य (Positive Work) करता है।
अगर एक पाइप टंकी को 6 घंटे में भरता है, तो 1 घंटे में = 1/6 टंकी भरेगा।
यह ऋणात्मक कार्य (Negative Work) करता है।
अगर एक पाइप टंकी को 8 घंटे में खाली करता है, तो 1 घंटे में = 1/8 टंकी खाली करेगा।
दोनों पाइप साथ खुले हों:
1 घंटे में शुद्ध भराव = 1/6 - 1/8 = (4-3)/24 = 1/24
∴ टंकी 24 घंटे में भरेगी।
अगर खाली करने वाला पाइप भरने वाले से तेज़ है (कम समय में खाली करता है), तो टंकी कभी नहीं भरेगी — बल्कि खाली होती जाएगी!
कुछ सवालों में एक व्यक्ति/पाइप काम बनाता है और दूसरा बिगाड़ता है।
उदाहरण: A एक दीवार 10 दिन में बनाता है, B उसे 20 दिन में गिराता है। दोनों साथ काम करें तो?
1 दिन का शुद्ध काम = 1/10 − 1/20 = (2−1)/20 = 1/20
∴ दीवार 20 दिन में बनेगी।
ऋणात्मक कार्य को हमेशा घटाया जाता है। यह सबसे आम गलतियों में से एक है — छात्र जोड़ देते हैं जबकि घटाना चाहिए।
सवाल पढ़ते ही सही विधि चुनना परीक्षा में समय बचाने की कुंजी है:
| सवाल का प्रकार | पहचान | सर्वोत्तम विधि |
|---|---|---|
| व्यक्तिगत काम | "A अकेले x दिन में करता है" | 1/x विधि (भिन्न) |
| संयुक्त काम | "A और B मिलकर" | LCM विधि या (xy)/(x+y) |
| मजदूर-दिन | "M₁D₁ = M₂D₂" | MDH सूत्र |
| पाइप-टंकी | "भरने/खाली करने वाला पाइप" | LCM विधि (± चिह्न) |
| एकांतर काम | "बारी-बारी से" | 2 दिन का चक्र विधि |
| मजदूरी बाँटना | "मजदूरी का अनुपात" | कार्यक्षमता अनुपात |
| अनुपात आधारित | "A, B से दुगुना तेज़" | अनुपात विधि |
| आंशिक काम | "आधा काम", "2/3 काम" | भिन्न विधि |
LCM विधि समय और कार्य के सवालों को हल करने की सबसे लोकप्रिय और तेज़ विधि है।
दिए गए सभी दिनों/समयों का LCM निकालें और उसे कुल कार्य (units) मानें।
कुल कार्य ÷ व्यक्ति का समय = एक दिन का काम (units में)
साथ काम करने पर जोड़ें, ऋणात्मक काम पर घटाएँ।
कुल कार्य ÷ संयुक्त दैनिक क्षमता = कुल दिन
LCM विधि से हल:
चरण 1: LCM(12, 18) = 36 → कुल कार्य = 36 units
चरण 2: A की दैनिक क्षमता = 36/12 = 3 units/दिन
चरण 2: B की दैनिक क्षमता = 36/18 = 2 units/दिन
चरण 3: संयुक्त क्षमता = 3 + 2 = 5 units/दिन
चरण 4: कुल समय = 36/5 = 7⅕ दिन
भिन्नों (fractions) से बच जाते हैं! सब कुछ पूर्ण संख्याओं (whole numbers) में होता है, जिससे गणना तेज़ और गलती कम होती है। प्रतियोगी परीक्षाओं में यह सबसे पसंदीदा विधि है।
कुछ सवालों में दो व्यक्ति बारी-बारी से (alternately) काम करते हैं — एक दिन A, अगले दिन B, फिर A, फिर B...
हल करने की विधि:
A का 1 दिन का काम + B का 1 दिन का काम = 2 दिन में हुआ काम
कुल काम ÷ 2 दिन का काम = चक्रों की संख्या
अगर कुछ काम बचता है, तो अगले व्यक्ति से पूरा करवाएँ
हल:
LCM(10, 15) = 30 units (कुल काम)
A की क्षमता = 30/10 = 3 units/दिन
B की क्षमता = 30/15 = 2 units/दिन
2 दिन का चक्र = 3 + 2 = 5 units
30 units के लिए = 30/5 = 6 चक्र = 6 × 2 = 12 दिन
∴ काम 12 दिन में पूरा होगा।
हर सूत्र को समझें, याद करें और लागू करना सीखें
W = Work (कार्य), E = Efficiency (कार्यक्षमता), T = Time (समय)
इससे दो और सूत्र बनते हैं: E = W/T और T = W/E
"WET" — Work = Efficiency × Time। जैसे "गीला" (WET) होने में समय लगता है!
यह सबसे बुनियादी और महत्वपूर्ण सूत्र है। कुल काम = 1 माना जाता है।
उदाहरण: A काम 8 दिन में करता है → 1 दिन का काम = 1/8
यह सूत्र 2 का उल्टा है। एक दिन का काम पता हो तो कुल दिन निकालना बहुत आसान है।
M = मजदूरों की संख्या, D = दिन, H = घंटे प्रति दिन, W = काम की मात्रा
यह सूत्र तब उपयोग होता है जब मजदूरों की संख्या, दिन या घंटे बदलते हैं।
पहले एक व्यक्ति का एक दिन का काम निकालें, फिर उससे नया समय/काम निकालें।
उदाहरण: 5 व्यक्ति 10 दिन में काम करते हैं → 1 व्यक्ति का 1 दिन का काम = 1/(5×10) = 1/50
जहाँ A अकेले x दिन में और B अकेले y दिन में काम करता है।
तर्क: 1 दिन का संयुक्त काम = 1/x + 1/y = (x+y)/xy, इसलिए कुल दिन = xy/(x+y)
A अकेले x दिन, B अकेले y दिन, C अकेले z दिन में काम करता है।
1 दिन का संयुक्त काम = 1/x + 1/y + 1/z = (xy+yz+zx)/xyz
B का 1 दिन का काम = (A+B का 1 दिन) − (A का 1 दिन) = 1/x − 1/y = (y−x)/xy
∴ B को पूरा काम = xy/(y−x) दिन
अगर A ने 3 दिन काम किया और उसकी दैनिक क्षमता 1/10 है, तो किया हुआ काम = 3/10
शेष काम = 1 − 3/10 = 7/10
शेष काम B करेगा (क्षमता 1/15) → समय = (7/10) ÷ (1/15) = (7/10) × 15 = 10.5 दिन
चरण 1: सभी दिनों का LCM निकालें = कुल कार्य (units में)
चरण 2: प्रत्येक की दैनिक क्षमता = कुल कार्य ÷ उसका समय
चरण 3: संयुक्त क्षमता = सभी की क्षमताओं का योग
चरण 4: कुल समय = कुल कार्य ÷ संयुक्त क्षमता
LCM(8, 12, 16) = 48 units (कुल काम)
A की क्षमता = 48/8 = 6 units/दिन
B की क्षमता = 48/12 = 4 units/दिन
C की क्षमता = 48/16 = 3 units/दिन
संयुक्त क्षमता = 6 + 4 + 3 = 13 units/दिन
कुल समय = 48/13 = 3⁹⁄₁₃ दिन
भरने वाला पाइप → धनात्मक (+), खाली करने वाला → ऋणात्मक (−)
अगर भरने वाला पाइप x घंटे में भरता है और खाली करने वाला y घंटे में खाली करता है:
1 घंटे में शुद्ध भराव = 1/x − 1/y = (y−x)/xy
कुल समय = xy/(y−x) घंटे (जब y > x, यानी भरने वाला तेज़ है)
x, y = भरने वाले पाइपों का समय, z = खाली करने वाले पाइप का समय
कुल समय = 1 / (1/x + 1/y − 1/z)
अगर खाली करने की दर ≥ भरने की दर, तो टंकी कभी नहीं भरेगी। ऐसे सवालों में उत्तर होगा "टंकी कभी नहीं भरेगी"।
चरण 1: 2 दिन (एक चक्र) में कितना काम होता है, निकालें
चरण 2: कुल काम ÷ 2 दिन का काम = चक्रों की संख्या
चरण 3: बचा हुआ काम अगले व्यक्ति से करवाएँ
कुल दिन = (चक्र × 2) + अतिरिक्त दिन
जितनी ज़्यादा कार्यक्षमता, उतनी ज़्यादा मजदूरी।
A का समय = x दिन, B का समय = y दिन
मजदूरी अनुपात A : B = 1/x : 1/y = y : x
A का हिस्सा = कुल मजदूरी × [y/(x+y)]
A का हिस्सा = कुल राशि × yz/(yz+xz+xy)
B का हिस्सा = कुल राशि × xz/(yz+xz+xy)
C का हिस्सा = कुल राशि × xy/(yz+xz+xy)
कार्यक्षमता और समय का अनुपात हमेशा उल्टा होता है।
अगर A की कार्यक्षमता : B की कार्यक्षमता = 3 : 2
तो A का समय : B का समय = 2 : 3
उदाहरण: 4 पुरुष = 6 महिलाएँ → 1 पुरुष = 6/4 = 1.5 महिलाएँ
कार्यक्षमता अनुपात (पुरुष:महिला) = 6:4 = 3:2
बस गुणा करो, जोड़ से भाग दो! सबसे तेज़ शॉर्टकट।
गुणा करो, अंतर से भाग दो!
अगर 3/5 काम बचा है और B अकेले 20 दिन में करता है, तो B को = (3/5) × 20 = 12 दिन
मजदूर × दिन = स्थिरांक। मजदूर बदलो, दिन बदल जाओ।
प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाने के लिए तेज़ विधियाँ
भिन्नों में उलझने के बजाय LCM विधि अपनाएँ। सभी दिनों का LCM = कुल units। फिर सब पूर्ण संख्या में!
उदाहरण: A=6 दिन, B=8 दिन → LCM=24 → A=4u, B=3u → साथ=7u → 24/7 दिन
दो व्यक्तियों का संयुक्त समय निकालने का सबसे तेज़ तरीका। बस गुणा करो और जोड़ से भाग दो!
उदाहरण: A=10 दिन, B=15 दिन → (10×15)/(10+15) = 150/25 = 6 दिन
कार्यक्षमता अनुपात दिया हो → समय अनुपात उल्टा करो। समय अनुपात दिया हो → कार्यक्षमता उल्टा करो।
उदाहरण: A:B क्षमता = 3:2 → A:B समय = 2:3
मजदूर बदलने वाले सवालों में यह सूत्र सबसे तेज़ है। काम समान हो तो मजदूर × दिन = स्थिर।
उदाहरण: 8 मजदूर 15 दिन → 12 मजदूर = (8×15)/12 = 10 दिन
बारी-बारी काम में 2 दिन का चक्र निकालो, फिर कुल काम ÷ चक्र काम = चक्र संख्या।
उदाहरण: A=12 दिन, B=18 दिन → LCM=36 → A=3u, B=2u → चक्र=5u → 36/5=7 चक्र + 1 दिन
भरने वाला = +, खाली करने वाला = −। LCM से units निकालो, चिह्न लगाकर जोड़ो/घटाओ।
उदाहरण: भरना=6 घंटे(+), खाली=8 घंटे(−) → LCM=24 → +4−3=1u/घंटा → 24 घंटे
मजदूरी बाँटने में अनुपात = समय का उल्टा। A=10 दिन, B=15 दिन → मजदूरी = 15:10 = 3:2
याद रखें: जो तेज़ काम करता है (कम समय), उसे ज़्यादा मजदूरी मिलती है!
1/x + 1/y = (x+y)/xy याद रखो। हर (denominator) = गुणनफल, अंश (numerator) = योग।
उदाहरण: 1/6 + 1/4 = (6+4)/(6×4) = 10/24 = 5/12 → समय = 12/5 = 2.4 दिन
सरल तरीकों से सूत्र और अवधारणाएँ हमेशा के लिए याद रखें
Work = Efficiency × Time
"WET" = गीला। जैसे कपड़ा गीला होने में समय लगता है, वैसे ही काम करने में समय लगता है!
कार्यक्षमता ↑ → समय ↓ (व्युत्क्रमानुपाती)
"जितना तेज़, उतना कम समय" — यह हमेशा याद रखें!
साथ काम करो → कार्यक्षमताएँ जुड़ती हैं
"एक और एक ग्यारह" — साथ में काम तेज़ी से होता है!
खाली करने वाला पाइप → घटाओ
"बनाना (+) और बिगाड़ना (−)" — चिह्न का ध्यान रखें!
मजदूरी अनुपात = समय अनुपात का उल्टा
"जो कम समय ले, उसे ज़्यादा पैसा!"
सभी दिनों का LCM = कुल काम (units)
"LCM लगाओ, भिन्न भगाओ!" — यह मंत्र याद रखें।
आसान से कठिन तक — हर उदाहरण चरण-दर-चरण हल किया गया
कुल काम = 1 मानें
राम का 1 दिन का काम = 1/कुल दिन = 1/15
1 दिन का काम = 1/20
पूरा काम करने में लगने वाले दिन = 1 ÷ (1/20) = 20 दिन
A का 1 दिन का काम = 1/10
B का 1 दिन का काम = 1/15
संयुक्त 1 दिन का काम = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6
∴ कुल समय = 6 दिन
(10 × 15)/(10 + 15) = 150/25 = 6 दिन
LCM(10, 15) = 30 units
A = 30/10 = 3u/दिन, B = 30/15 = 2u/दिन
संयुक्त = 5u/दिन → समय = 30/5 = 6 दिन
M₁D₁ = M₂D₂ सूत्र लगाएँ
6 × 12 = 9 × D₂
72 = 9 × D₂
D₂ = 72/9 = 8 दिन
पाइप 8 घंटे में पूरी टंकी (1) भरता है
1 घंटे में भरेगा = 1/8 टंकी
(A+B) का 1 दिन का काम = 1/12
A का 1 दिन का काम = 1/20
B का 1 दिन का काम = 1/12 − 1/20 = (5−3)/60 = 2/60 = 1/30
∴ B अकेले 30 दिन में करेगा
B = (12 × 20)/(20 − 12) = 240/8 = 30 दिन
LCM(10, 15, 30) = 30 units
A = 30/10 = 3u/दिन
B = 30/15 = 2u/दिन
C = 30/30 = 1u/दिन
संयुक्त = 3+2+1 = 6u/दिन
समय = 30/6 = 5 दिन
A की कार्यक्षमता = 1/12
B, A से 50% अधिक कार्यक्षम → B की क्षमता = (1/12) × 1.5 = (1/12) × (3/2) = 3/24 = 1/8
B का 1 दिन का काम = 1/8 → B पूरा काम 8 दिन में करेगा
A:B क्षमता = 100:150 = 2:3
A:B समय = 3:2 (उल्टा)
A = 12 दिन → B = 12 × (2/3) = 8 दिन
भरने वाला पाइप: 1 घंटे में = +1/6
खाली करने वाला: 1 घंटे में = −1/9
शुद्ध भराव (1 घंटे में) = 1/6 − 1/9 = (3−2)/18 = 1/18
∴ टंकी 18 घंटे में भरेगी
LCM(8, 12) = 24 units (कुल काम)
A की क्षमता = 24/8 = 3u/दिन
A ने 2 दिन काम किया = 3 × 2 = 6 units
शेष काम = 24 − 6 = 18 units
B की क्षमता = 24/12 = 2u/दिन
B को शेष काम में = 18/2 = 9 दिन
(A+B) का 1 दिन का काम = 1/15
10 दिन में किया = 10/15 = 2/3
शेष काम = 1 − 2/3 = 1/3
A ने 1/3 काम 12 दिन में किया
∴ A पूरा काम = 12 × 3 = 36 दिन में करेगा
4 पुरुष = 6 महिलाएँ (समान काम)
1 पुरुष = 6/4 = 3/2 महिलाएँ
पुरुष:महिला क्षमता = 3:2
माना 1 महिला की क्षमता = 2u/दिन, 1 पुरुष की = 3u/दिन
कुल काम = 6 महिलाएँ × 2u × 20 दिन = 240 units
6 पुरुष + 9 महिलाएँ = (6×3) + (9×2) = 18 + 18 = 36u/दिन
समय = 240/36 = 20/3 = 6⅔ दिन
A, B से दुगुना तेज़ → A:B क्षमता = 2:1
A:B समय = 1:2 (उल्टा)
B = 24 दिन → A = 12 दिन
LCM(12, 24) = 24 units
A = 24/12 = 2u/दिन, B = 24/24 = 1u/दिन
संयुक्त = 3u/दिन
समय = 24/3 = 8 दिन
(12 × 24)/(12 + 24) = 288/36 = 8 दिन
LCM(10, 15, 30) = 30 units (कुल टंकी)
A = 30/10 = 3u/घंटा, B = 30/15 = 2u/घंटा, C = 30/30 = 1u/घंटा
A+B ने 3 घंटे में भरा = (3+2) × 3 = 15 units
शेष = 30 − 15 = 15 units
C अकेले भरेगा = 15/1 = 15 घंटे
LCM(12, 18) = 36 units
A = 36/12 = 3u/दिन, B = 36/18 = 2u/दिन
2 दिन का चक्र = 3 + 2 = 5 units
36 ÷ 5 = 7 चक्र (35 units) + 1 unit शेष
7 चक्र = 14 दिन
15वें दिन A की बारी → A 3u/दिन करता है, 1u बचा है → 1/3 दिन में पूरा
कुल = 14 + 1/3 = 14⅓ दिन
A का कुल काम = 6 × 5 = 30 units
B का कुल काम = 8 × 4 = 32 units
C का कुल काम = 12 × 3 = 36 units
काम का अनुपात = 30 : 32 : 36 = 15 : 16 : 18
कुल भाग = 15 + 16 + 18 = 49
A का हिस्सा = ₹1800 × (15/49) = ₹551.02
B का हिस्सा = ₹1800 × (16/49) = ₹587.76
C का हिस्सा = ₹1800 × (18/49) = ₹661.22
कुल काम = 12 × 8 = 96 man-days
6 दिन में 12 पुरुषों ने किया = 12 × 6 = 72 man-days
शेष = 96 − 72 = 24 man-days
अब पुरुष = 12 + 4 = 16
शेष काम = 24/16 = 1.5 दिन
LCM(12, 16) = 48 units
A = 48/12 = 4u/मिनट, B = 48/16 = 3u/मिनट
4 मिनट में A+B ने भरा = (4+3) × 4 = 28 units
शेष = 48 − 28 = 20 units
B अकेले भरेगा = 20/3 = 6⅔ मिनट
कुल समय = 4 + 6⅔ = 10⅔ मिनट
A:B क्षमता = 130:100 = 13:10
A:B समय = 10:13 (उल्टा)
A = 23 दिन → 10 भाग = 23 → 1 भाग = 2.3
B = 13 भाग = 13 × 2.3 = 29.9 दिन
संयुक्त समय = (23 × 29.9)/(23 + 29.9) = 687.7/52.9 ≈ 13 दिन
A की क्षमता = 13u, B की = 10u
कुल काम = 13 × 23 = 299 units
संयुक्त = 23u/दिन → समय = 299/23 = 13 दिन
LCM(10, 12, 20) = 60 units
(A+B+C) = 60/10 = 6u/दिन
(A+B) = 60/12 = 5u/दिन
(B+C) = 60/20 = 3u/दिन
C = (A+B+C) − (A+B) = 6 − 5 = 1u/दिन
A = (A+B+C) − (B+C) = 6 − 3 = 3u/दिन
B = (A+B) − A = 5 − 3 = 2u/दिन
B अकेले = 60/2 = 30 दिन
समय और कार्य का सबसे महत्वपूर्ण उप-विषय
पाइप और टंकी के सवाल समय और कार्य के ही रूप हैं। बस यहाँ "काम" = "टंकी भरना" और "कार्यक्षमता" = "भरने/खाली करने की दर"।
| स्थिति | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| दो भरने वाले | 1/x + 1/y | 6 और 8 घंटे → 1/6+1/8 = 7/24 → 24/7 घंटे |
| एक भरने + एक खाली | 1/x − 1/y | 6 और 8 घंटे → 1/6−1/8 = 1/24 → 24 घंटे |
| दो भरने + एक खाली | 1/x + 1/y − 1/z | 10, 15, 30 → 1/10+1/15−1/30 = 4/30 → 7.5 घंटे |
| रिसाव (Leak) | 1/भरना − 1/रिसाव | भरना 8 घंटे, रिसाव से 10 घंटे → रिसाव = 40 घंटे |
LCM(12, 15, 20) = 60 units
A = +60/12 = +5u/मिनट
B = +60/15 = +4u/मिनट
C = −60/20 = −3u/मिनट (खाली करने वाला)
5 + 4 − 3 = 6u/मिनट
60/6 = 10 मिनट
पाइप की भरने की दर = 1/8 (प्रति घंटा)
रिसाव सहित भरने की दर = 1/10 (प्रति घंटा)
रिसाव की दर = 1/8 − 1/10 = (5−4)/40 = 1/40
रिसाव अकेले खाली करेगा = 40 घंटे में
रिसाव समय = (8 × 10)/(10 − 8) = 80/2 = 40 घंटे
मजदूरी हमेशा किए गए काम के अनुपात में बँटती है
जो व्यक्ति ज़्यादा तेज़ काम करता है (कम समय लेता है), उसे ज़्यादा मजदूरी मिलती है।
A का समय = x दिन, B का समय = y दिन → मजदूरी अनुपात A:B = y:x (उल्टा!)
मजदूरी अनुपात A:B = 15:10 = 3:2 (समय का उल्टा)
कुल भाग = 3 + 2 = 5
A का हिस्सा = ₹5000 × (3/5) = ₹3000
B का हिस्सा = ₹5000 × (2/5) = ₹2000
LCM(6, 8, 12) = 24 units
A = 24/6 = 4u/दिन, B = 24/8 = 3u/दिन, C = 24/12 = 2u/दिन
क्षमता अनुपात A:B:C = 4:3:2
कुल भाग = 4+3+2 = 9
B का हिस्सा = ₹3600 × (3/9) = ₹1200
अभ्यास से ही सिद्धि होती है — सभी प्रकार के प्रश्न
1. अगर A एक काम 12 दिन में करता है, तो उसका 1 दिन का काम = होगा।
2. कार्य = कार्यक्षमता ×
3. अगर A और B मिलकर काम x और y दिन में करते हैं, तो संयुक्त समय =
4. मजदूरी अनुपात = अनुपात
5. खाली करने वाले पाइप का चिह्न होता है।
1. अगर A, B से तेज़ है, तो A को ज़्यादा समय लगेगा।
2. संयुक्त कार्य में कार्यक्षमताएँ जुड़ती हैं।
3. मजदूरी अनुपात समय अनुपात के बराबर होता है।
4. LCM विधि में कुल काम = सभी समयों का LCM होता है।
5. खाली करने वाला पाइप धनात्मक कार्य करता है।
| कॉलम A | कॉलम B |
|---|---|
| 1. 1 दिन का काम | अ. (xy)/(x+y) |
| 2. संयुक्त समय (2 व्यक्ति) | ब. 1/कुल दिन |
| 3. मजदूरी अनुपात | स. कार्यक्षमता अनुपात |
| 4. MDH सूत्र | द. M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂ |
| 5. शेष काम | य. 1 − किया हुआ काम |
1-ब, 2-अ, 3-स, 4-द, 5-य
1. 5/20 = 1/4 काम
2. B = (8×12)/(12−8) = 96/4 = 24 दिन
3. 10×15 = 25×D → D = 150/25 = 6 दिन
4. 1/10 − 1/15 = 1/30 → 30 घंटे
5. A:B समय = 3:4 → B = 9×(4/3) = 12 दिन
अपनी समझ की जाँच करें — 10 MCQ प्रश्न
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परीक्षा में सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न और ट्रिक्स
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आपने "समय और कार्य" का पूरा अध्याय पढ़ लिया है। अब अभ्यास करें और परीक्षा में सफलता पाएँ!
"अभ्यास ही सिद्धि का मार्ग है" — रोज़ाना कम से कम 5 सवाल हल करें।
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