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⏱️ समय, चाल और दूरी

Time, Speed & Distance — पूर्ण अध्याय

शून्य से एडवांस्ड तक — स्कूल और प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए संपूर्ण मार्गदर्शिका

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मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)

सबसे पहले समझते हैं कि समय, चाल और दूरी क्या हैं — बिल्कुल शून्य से

📏 दूरी (Distance) क्या है?

दूरी का मतलब है — दो बिंदुओं के बीच की लंबाई। जब आप अपने घर से स्कूल जाते हैं, तो जो रास्ता तय करते हैं, उसकी लंबाई ही दूरी है।

सरल परिभाषा

किसी वस्तु द्वारा तय किए गए मार्ग की कुल लंबाई को दूरी कहते हैं।

दूरी की इकाइयाँ (Units)

इकाईसंक्षिप्त रूपसंबंधउदाहरण
मिलीमीटरmm—पेंसिल की नोक
सेंटीमीटरcm1 cm = 10 mmउंगली की चौड़ाई
मीटरm1 m = 100 cmकमरे की लंबाई
किलोमीटरkm1 km = 1000 mशहरों के बीच दूरी
याद रखें

दूरी हमेशा धनात्मक (positive) होती है। दूरी कभी शून्य या ऋणात्मक नहीं हो सकती (जब तक वस्तु चली ही न हो)।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

  • घर से स्कूल = 3 km
  • दिल्ली से मुंबई = लगभग 1400 km
  • एक दौड़ का ट्रैक = 400 m
  • फुटबॉल मैदान की लंबाई = 100 m

⏰ समय (Time) क्या है?

समय का मतलब है — कोई काम करने में लगा हुआ काल। जब आप घर से स्कूल जाते हैं, तो जितना समय लगता है, वही आपका यात्रा समय है।

सरल परिभाषा

किसी घटना के होने की अवधि को समय कहते हैं। गति के संदर्भ में, यह वह अवधि है जिसमें कोई वस्तु कुछ दूरी तय करती है।

समय की इकाइयाँ (Units)

इकाईसंक्षिप्त रूपसंबंध
सेकंडs या secमूल इकाई
मिनटmin1 min = 60 sec
घंटाhr1 hr = 60 min = 3600 sec
दिनday1 day = 24 hr
महत्वपूर्ण रूपांतरण

1 घंटा = 60 मिनट = 3600 सेकंड
1 मिनट = 60 सेकंड
ये रूपांतरण प्रश्नों में बहुत काम आते हैं!

🏎️ चाल (Speed) क्या है?

चाल का मतलब है — एक निश्चित समय में कितनी दूरी तय की गई। अगर आप 1 घंटे में 60 km जाते हैं, तो आपकी चाल 60 km/h है।

सरल परिभाषा

एक इकाई समय में तय की गई दूरी को चाल (Speed) कहते हैं।

मूल सूत्र
$$\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$$
Speed = Distance ÷ Time

चाल की इकाइयाँ

इकाईकब उपयोग करेंउदाहरण
km/h (किमी/घंटा)गाड़ियाँ, ट्रेनेंकार की चाल 80 km/h
m/s (मीटर/सेकंड)दौड़, विज्ञानध्वनि की चाल 340 m/s
m/minचलनाव्यक्ति 60 m/min

चाल के प्रकार

🚶 एकसमान चाल (Uniform Speed)

जब वस्तु हर समय अंतराल में समान दूरी तय करे। जैसे — कार हमेशा 60 km/h से चल रही है।

🔄 परिवर्तनशील चाल (Variable Speed)

जब चाल बदलती रहे। जैसे — कभी 40 km/h, कभी 80 km/h। वास्तविक जीवन में ज्यादातर यही होता है।

सामान्य गलती

छात्र अक्सर चाल और वेग (Velocity) में भ्रमित होते हैं। चाल केवल बताती है कि कितनी तेज़, जबकि वेग दिशा भी बताता है। प्रतियोगी परीक्षाओं में ज्यादातर चाल के प्रश्न आते हैं।

🔗 समय, चाल और दूरी का संबंध

ये तीनों एक-दूसरे से जुड़े हैं। अगर आपको कोई दो पता हों, तो तीसरा निकाल सकते हैं।

दूरी
$$\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$$
चाल
$$\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$$
समय
$$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$
याद रखने की ट्रिक — SDT त्रिभुज

एक त्रिभुज बनाएं। ऊपर D (Distance), नीचे बाएं S (Speed), नीचे दाएं T (Time)।

जो निकालना है, उसे ढक दें:

  • D ढकें → S × T बचता है → दूरी = चाल × समय
  • S ढकें → D/T बचता है → चाल = दूरी/समय
  • T ढकें → D/S बचता है → समय = दूरी/चाल

संबंधों को समझें

स्थितिपरिणामउदाहरण
चाल बढ़े, समय समानदूरी बढ़ेगीतेज़ चलोगे तो ज़्यादा दूर जाओगे
चाल घटे, समय समानदूरी घटेगीधीमे चलोगे तो कम दूर जाओगे
दूरी समान, चाल बढ़ेसमय कम लगेगातेज़ गाड़ी जल्दी पहुँचेगी
दूरी समान, चाल घटेसमय ज़्यादा लगेगाधीमी गाड़ी देरी से पहुँचेगी
आनुपातिक संबंध (Proportional Relationships)

• चाल और दूरी समानुपाती हैं (समय स्थिर हो) → चाल दोगुनी, दूरी दोगुनी

• चाल और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं (दूरी स्थिर हो) → चाल दोगुनी, समय आधा

• दूरी और समय समानुपाती हैं (चाल स्थिर हो) → दूरी दोगुनी, समय दोगुना

❓ यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है?

समय, चाल और दूरी गणित के सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले विषयों में से एक है।

📊 परीक्षाओं में महत्व

  • SSC CGL/CHSL — 2-4 प्रश्न
  • Railway NTPC/Group D — 3-5 प्रश्न
  • Banking PO/Clerk — 2-3 प्रश्न
  • Police SI/Constable — 2-4 प्रश्न
  • State PSC — 2-3 प्रश्न
  • स्कूल परीक्षा — 5-8 प्रश्न

🌍 वास्तविक जीवन में उपयोग

  • यात्रा का समय अनुमान लगाना
  • गाड़ी की औसत चाल जानना
  • ट्रेन का आगमन समय
  • दौड़ में प्रतियोगिता
  • नाव से नदी पार करना
  • GPS और नेविगेशन
📋

सभी महत्वपूर्ण सूत्र (All Formulas)

एक ही जगह सभी सूत्र — विस्तृत व्याख्या के साथ

📌 मूल सूत्र (Basic Formulas)

1. चाल का सूत्र
$$\text{चाल (Speed)} = \frac{\text{दूरी (Distance)}}{\text{समय (Time)}}$$

जहाँ: S = चाल, D = दूरी, T = समय

💡 याद रखें: चाल = दूरी ÷ समय — "दूरी को समय से भाग दो"
2. दूरी का सूत्र
$$\text{दूरी (Distance)} = \text{चाल (Speed)} \times \text{समय (Time)}$$
💡 याद रखें: दूरी = चाल × समय — "चाल और समय को गुणा करो"
3. समय का सूत्र
$$\text{समय (Time)} = \frac{\text{दूरी (Distance)}}{\text{चाल (Speed)}}$$
💡 याद रखें: समय = दूरी ÷ चाल — "दूरी को चाल से भाग दो"

🔄 इकाई रूपांतरण सूत्र (Unit Conversion)

4. km/h को m/s में बदलना
$$\text{km/h} \rightarrow \text{m/s} : \times \frac{5}{18}$$

अर्थात km/h वाली संख्या को $\frac{5}{18}$ से गुणा करें

उदाहरण: $72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}$

💡 ट्रिक: km/h → m/s = "5 से गुणा, 18 से भाग" (छोटी इकाई में जाना है तो 5/18)
5. m/s को km/h में बदलना
$$\text{m/s} \rightarrow \text{km/h} : \times \frac{18}{5}$$

अर्थात m/s वाली संख्या को $\frac{18}{5}$ से गुणा करें

उदाहरण: $15 \text{ m/s} = 15 \times \frac{18}{5} = 54 \text{ km/h}$

💡 ट्रिक: m/s → km/h = "18 से गुणा, 5 से भाग" (बड़ी इकाई में जाना है तो 18/5)
6. अन्य रूपांतरण
$$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$$
$$1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट} = 3600 \text{ सेकंड}$$
$$1 \text{ मिनट} = 60 \text{ सेकंड}$$

📊 औसत चाल के सूत्र (Average Speed)

7. औसत चाल (सामान्य)
$$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$$
⚠️ सावधान: औसत चाल ≠ चालों का साधारण औसत! यह सबसे बड़ी गलती छात्र करते हैं।
8. जब दो समान दूरियाँ अलग-अलग चाल से तय हों
$$\text{औसत चाल} = \frac{2 \times S_1 \times S_2}{S_1 + S_2}$$

जहाँ $S_1$ = पहली चाल, $S_2$ = दूसरी चाल

यह हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) है।

💡 यह सूत्र तभी लागू होता है जब दोनों दूरियाँ बराबर हों।
9. जब तीन समान दूरियाँ अलग-अलग चाल से तय हों
$$\text{औसत चाल} = \frac{3 \times S_1 \times S_2 \times S_3}{S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_1}$$
10. जब अलग-अलग दूरियाँ अलग-अलग चाल से तय हों
$$\text{औसत चाल} = \frac{D_1 + D_2 + D_3 + \cdots}{\frac{D_1}{S_1} + \frac{D_2}{S_2} + \frac{D_3}{S_3} + \cdots}$$

↔️ सापेक्ष चाल के सूत्र (Relative Speed)

11. विपरीत दिशा में गति (Opposite Direction)
$$\text{सापेक्ष चाल} = S_1 + S_2$$

जब दो वस्तुएँ आमने-सामने आ रही हों, तो उनकी चालें जुड़ जाती हैं।

💡 याद रखें: "विपरीत दिशा = जोड़" — दोनों मिलकर जल्दी मिलते हैं
12. समान दिशा में गति (Same Direction)
$$\text{सापेक्ष चाल} = |S_1 - S_2| = \text{बड़ी चाल} - \text{छोटी चाल}$$

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में जा रही हों, तो चालें घटती हैं।

💡 याद रखें: "समान दिशा = घटाव" — पीछे से आने वाली तेज़ गाड़ी धीरे-धीरे आगे निकलती है
13. मिलने का समय
$$\text{मिलने का समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष चाल}}$$

🚂 रेल संबंधी सूत्र (Train Problems)

14. रेल द्वारा खंभे/व्यक्ति को पार करना
$$\text{समय} = \frac{\text{रेल की लंबाई}}{\text{रेल की चाल}}$$

खंभा/व्यक्ति की लंबाई नगण्य (negligible) मानी जाती है।

15. रेल द्वारा प्लेटफॉर्म/पुल/सुरंग पार करना
$$\text{समय} = \frac{\text{रेल की लंबाई} + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}}{\text{रेल की चाल}}$$
💡 याद रखें: प्लेटफॉर्म/पुल/सुरंग पार करने में रेल को अपनी लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई तय करनी पड़ती है।
16. दो रेलों का एक-दूसरे को पार करना (विपरीत दिशा)
$$\text{समय} = \frac{L_1 + L_2}{S_1 + S_2}$$

$L_1, L_2$ = दोनों रेलों की लंबाइयाँ, $S_1, S_2$ = दोनों की चालें

17. दो रेलों का एक-दूसरे को पार करना (समान दिशा)
$$\text{समय} = \frac{L_1 + L_2}{S_1 - S_2}$$

यहाँ $S_1 > S_2$ (तेज़ रेल पीछे से आ रही है)

⛵ नाव और धारा के सूत्र (Boat and Stream)

18. धारा के अनुकूल (Downstream)
$$\text{Downstream चाल} = u + v$$

$u$ = शांत जल में नाव की चाल, $v$ = धारा की चाल

💡 धारा के साथ जाने पर नाव तेज़ चलती है — चालें जुड़ती हैं
19. धारा के प्रतिकूल (Upstream)
$$\text{Upstream चाल} = u - v$$

धारा के विरुद्ध जाने पर नाव धीमी चलती है — चालें घटती हैं

💡 याद रखें: "अनुकूल = जोड़, प्रतिकूल = घटाव"
20. शांत जल में नाव की चाल
$$u = \frac{\text{Downstream} + \text{Upstream}}{2}$$
21. धारा की चाल
$$v = \frac{\text{Downstream} - \text{Upstream}}{2}$$

🏃 वृत्तीय गति और दौड़ के सूत्र (Circular Motion & Races)

22. वृत्तीय पथ पर पहली बार मिलना (विपरीत दिशा)
$$\text{समय} = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{S_1 + S_2}$$
23. वृत्तीय पथ पर पहली बार मिलना (समान दिशा)
$$\text{समय} = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{S_1 - S_2}$$
24. प्रारंभिक बिंदु पर पुनः मिलना
$$\text{समय} = \text{LCM}\left(\frac{L}{S_1}, \frac{L}{S_2}\right)$$

दोनों धावकों द्वारा एक चक्कर लगाने में लगे समय का LCM

🔄

इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

km/h ↔ m/s और अन्य रूपांतरण — विस्तृत समझ

📐 km/h को m/s में क्यों बदलते हैं?

प्रश्नों में अक्सर चाल km/h में दी होती है और दूरी मीटर में या समय सेकंड में। ऐसे में इकाइयाँ मिलानी पड़ती हैं।

रूपांतरण का तर्क समझें

तर्क
$$1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$$
1 km = 1000 m और 1 घंटा = 3600 सेकंड

km/h → m/s

$\frac{5}{18}$ से गुणा करें

उदाहरण: $36 \text{ km/h} = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \text{ m/s}$

m/s → km/h

$\frac{18}{5}$ से गुणा करें

उदाहरण: $25 \text{ m/s} = 25 \times \frac{18}{5} = 90 \text{ km/h}$

कुछ महत्वपूर्ण रूपांतरण याद रखें

km/hm/skm/hm/s
1853610
54157220
902510830
1444018050
त्वरित ट्रिक

km/h को m/s में बदलने के लिए — संख्या को 18 से भाग दें, फिर 5 से गुणा करें।

उदाहरण: 90 km/h → 90 ÷ 18 = 5 → 5 × 5 = 25 m/s

📊

औसत चाल (Average Speed)

सबसे ज़्यादा गलती इसी टॉपिक में होती है — पूरी समझ यहाँ पाएं

औसत चाल क्या है?

जब कोई वस्तु अलग-अलग चाल से यात्रा करती है, तो पूरी यात्रा की एक समान चाल जो वही कुल दूरी उतने ही कुल समय में तय करे, उसे औसत चाल कहते हैं।

महत्वपूर्ण
$$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$$
सबसे बड़ी गलती!

औसत चाल ≠ $\frac{S_1 + S_2}{2}$ (चालों का साधारण औसत)

यह केवल तभी सही है जब दोनों चालों पर समान समय तक चला गया हो।

स्थिति 1: समान दूरी, अलग चाल

एक व्यक्ति A से B तक $S_1$ चाल से जाता है और B से A तक $S_2$ चाल से वापस आता है।

सूत्र
$$\text{औसत चाल} = \frac{2S_1S_2}{S_1 + S_2}$$

स्थिति 2: समान समय, अलग चाल

यदि दोनों चालों पर समान समय चला गया हो:

सूत्र
$$\text{औसत चाल} = \frac{S_1 + S_2}{2}$$

स्थिति 3: तीन अलग-अलग चालें, समान दूरी

सूत्र
$$\text{औसत चाल} = \frac{3S_1S_2S_3}{S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_1}$$
📝 उदाहरण: औसत चाल
एक कार 60 km/h की चाल से दिल्ली से जयपुर जाती है और 40 km/h की चाल से वापस आती है। पूरी यात्रा की औसत चाल क्या है?
दूरी समान है, इसलिए $\frac{2S_1S_2}{S_1 + S_2}$ सूत्र लगेगा
$S_1 = 60$ km/h, $S_2 = 40$ km/h
औसत चाल = $\frac{2 \times 60 \times 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48$ km/h
✅ उत्तर: 48 km/h
📝 उदाहरण: औसत चाल (तीन चालें)
एक व्यक्ति तीन समान दूरियाँ क्रमशः 30 km/h, 40 km/h और 60 km/h की चाल से तय करता है। औसत चाल ज्ञात करें।
तीन समान दूरियाँ हैं, इसलिए $\frac{3S_1S_2S_3}{S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_1}$ सूत्र लगेगा
$S_1 = 30, S_2 = 40, S_3 = 60$
अंश = $3 \times 30 \times 40 \times 60 = 216000$
हर = $30 \times 40 + 40 \times 60 + 60 \times 30 = 1200 + 2400 + 1800 = 5400$
औसत चाल = $\frac{216000}{5400} = 40$ km/h
✅ उत्तर: 40 km/h
↔️

सापेक्ष चाल (Relative Speed)

जब दो वस्तुएँ एक साथ चल रही हों — उनकी एक-दूसरे के सापेक्ष चाल

सापेक्ष चाल क्या है?

जब दो वस्तुएँ गतिमान हों, तो एक वस्तु की चाल दूसरी वस्तु के सापेक्ष (relative to) जो होती है, उसे सापेक्ष चाल कहते हैं।

वास्तविक उदाहरण से समझें

मान लीजिए आप एक ट्रेन में बैठे हैं जो 80 km/h से चल रही है। दूसरी ट्रेन विपरीत दिशा में 60 km/h से आ रही है। आपको लगेगा कि दूसरी ट्रेन बहुत तेज़ (140 km/h) से गुज़री। यही सापेक्ष चाल है!

🔄 विपरीत दिशा (Opposite Direction)

$$S_{relative} = S_1 + S_2$$

दोनों एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं → चालें जुड़ती हैं

उदाहरण: 50 km/h + 30 km/h = 80 km/h

➡️ समान दिशा (Same Direction)

$$S_{relative} = S_1 - S_2$$

दोनों एक ही दिशा में जा रहे हैं → चालें घटती हैं

उदाहरण: 80 km/h - 60 km/h = 20 km/h

याद रखने की ट्रिक

🔄 विपरीत = जोड़ — दोनों मिलकर जल्दी मिलते हैं

➡️ समान = घटाव — पीछे वाली गाड़ी धीरे-धीरे करीब आती है

📝 उदाहरण: सापेक्ष चाल
दो कारें क्रमशः 60 km/h और 40 km/h की चाल से एक-दूसरे की ओर आ रही हैं। उनके बीच की दूरी 200 km है। वे कितने समय बाद मिलेंगी?
विपरीत दिशा में हैं, इसलिए सापेक्ष चाल = 60 + 40 = 100 km/h
समय = दूरी ÷ सापेक्ष चाल = 200 ÷ 100 = 2 घंटे
✅ उत्तर: 2 घंटे बाद मिलेंगी
🚂

रेल संबंधी प्रश्न (Train Problems)

सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न — खंभा, प्लेटफॉर्म, पुल, सुरंग

रेल प्रश्नों का मूल सिद्धांत

रेल प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बात — रेल को कितनी दूरी तय करनी है?

स्थितितय की गई दूरीसूत्र
खंभा/व्यक्ति/पेड़ पार करनारेल की लंबाई$T = \frac{L_{train}}{S}$
प्लेटफॉर्म पार करनारेल + प्लेटफॉर्म$T = \frac{L_{train} + L_{platform}}{S}$
पुल/सुरंग पार करनारेल + पुल/सुरंग$T = \frac{L_{train} + L_{bridge}}{S}$
दूसरी रेल पार करना (विपरीत)दोनों रेलों की लंबाई$T = \frac{L_1 + L_2}{S_1 + S_2}$
दूसरी रेल पार करना (समान)दोनों रेलों की लंबाई$T = \frac{L_1 + L_2}{S_1 - S_2}$
महत्वपूर्ण बात

रेल जब किसी प्लेटफॉर्म/पुल को पार करती है, तो उसे अपनी पूरी लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई तय करनी पड़ती है। क्योंकि रेल का इंजन प्लेटफॉर्म पर पहुँचने से लेकर आखिरी डिब्बा प्लेटफॉर्म से निकलने तक पूरी दूरी तय होती है।

📝 उदाहरण: रेल और खंभा
150 मीटर लंबी रेल 54 km/h की चाल से चल रही है। यह एक खंभे को कितने समय में पार करेगी?
रेल की लंबाई = 150 m
चाल = 54 km/h = $54 \times \frac{5}{18} = 15$ m/s
समय = $\frac{150}{15} = 10$ सेकंड
✅ उत्तर: 10 सेकंड
📝 उदाहरण: रेल और प्लेटफॉर्म
200 मीटर लंबी रेल 72 km/h की चाल से चल रही है। यह 300 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को कितने समय में पार करेगी?
कुल दूरी = रेल + प्लेटफॉर्म = 200 + 300 = 500 m
चाल = 72 km/h = $72 \times \frac{5}{18} = 20$ m/s
समय = $\frac{500}{20} = 25$ सेकंड
✅ उत्तर: 25 सेकंड
📝 उदाहरण: दो रेलें विपरीत दिशा में
120 मीटर और 180 मीटर लंबी दो रेलें क्रमशः 42 km/h और 30 km/h की चाल से विपरीत दिशा में आ रही हैं। वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी?
कुल लंबाई = 120 + 180 = 300 m
सापेक्ष चाल = 42 + 30 = 72 km/h = $72 \times \frac{5}{18} = 20$ m/s
समय = $\frac{300}{20} = 15$ सेकंड
✅ उत्तर: 15 सेकंड
📝 उदाहरण: रेल की लंबाई ज्ञात करना
एक रेल 60 km/h की चाल से चलते हुए एक खंभे को 9 सेकंड में पार करती है। रेल की लंबाई ज्ञात करें।
चाल = 60 km/h = $60 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{3}$ m/s
समय = 9 सेकंड
दूरी (रेल की लंबाई) = चाल × समय = $\frac{50}{3} \times 9 = 150$ m
✅ उत्तर: 150 मीटर
⛵

नाव और धारा (Boat and Stream)

धारा के अनुकूल और प्रतिकूल गति — सभी प्रकार के प्रश्न

नाव और धारा की मूल अवधारणा

जब नाव नदी में चलती है, तो नदी का पानी भी बह रहा होता है। इस बहाव (धारा) का नाव की चाल पर प्रभाव पड़ता है।

⬇️ धारा के अनुकूल (Downstream)

नाव धारा की दिशा में जा रही है — धारा मदद करती है

$$D = u + v$$

$u$ = शांत जल में नाव की चाल, $v$ = धारा की चाल

⬆️ धारा के प्रतिकूल (Upstream)

नाव धारा के विरुद्ध जा रही है — धारा रोकती है

$$U = u - v$$

प्रतिकूल चाल हमेशा अनुकूल से कम होती है

महत्वपूर्ण सूत्र

शांत जल में नाव की चाल
$$u = \frac{D + U}{2}$$

Downstream और Upstream चालों का औसत

धारा की चाल
$$v = \frac{D - U}{2}$$

Downstream और Upstream चालों के अंतर का आधा

याद रखने की ट्रिक

🌊 Downstream = Down (नीचे) = धारा के साथ = जोड़ (+)

🏔️ Upstream = Up (ऊपर) = धारा के खिलाफ = घटाव (-)

नाव की चाल = दोनों का औसत, धारा की चाल = अंतर का आधा

📝 उदाहरण: नाव और धारा
एक नाव धारा के अनुकूल 12 km/h और धारा के प्रतिकूल 8 km/h की चाल से चलती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात करें।
Downstream (D) = 12 km/h, Upstream (U) = 8 km/h
शांत जल में नाव की चाल = $\frac{D + U}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10$ km/h
धारा की चाल = $\frac{D - U}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$ km/h
✅ उत्तर: नाव की चाल = 10 km/h, धारा की चाल = 2 km/h
📝 उदाहरण: समय ज्ञात करना
शांत जल में नाव की चाल 15 km/h है और धारा की चाल 3 km/h है। नाव को धारा के प्रतिकूल 36 km जाने में कितना समय लगेगा?
Upstream चाल = u - v = 15 - 3 = 12 km/h
दूरी = 36 km
समय = $\frac{36}{12} = 3$ घंटे
✅ उत्तर: 3 घंटे
🏃

वृत्तीय गति और दौड़ (Circular Motion & Races)

गोलाकार ट्रैक पर दौड़ने वाले प्रश्न — मिलना और ओवरटेक करना

वृत्तीय पथ पर गति

जब दो या अधिक व्यक्ति एक वृत्तीय (गोलाकार) पथ पर दौड़ते हैं, तो वे कब और कहाँ मिलेंगे — यह जानना महत्वपूर्ण है।

स्थिति 1: विपरीत दिशा में दौड़ना

पहली बार मिलना
$$\text{समय} = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{S_1 + S_2}$$

स्थिति 2: समान दिशा में दौड़ना

पहली बार मिलना (ओवरटेक)
$$\text{समय} = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{S_1 - S_2}$$

स्थिति 3: प्रारंभिक बिंदु पर पुनः मिलना

Starting Point पर मिलना
$$\text{समय} = \text{LCM}\left(\frac{L}{S_1}, \frac{L}{S_2}\right)$$
📝 उदाहरण: वृत्तीय पथ
600 मीटर के वृत्तीय पथ पर दो धावक क्रमशः 5 m/s और 3 m/s की चाल से एक ही दिशा में दौड़ते हैं। वे कितने समय बाद पहली बार मिलेंगे?
समान दिशा में हैं, सापेक्ष चाल = 5 - 3 = 2 m/s
तेज़ धावक को धीमे से मिलने के लिए एक पूरा चक्कर (600 m) ज़्यादा लगाना होगा
समय = $\frac{600}{2} = 300$ सेकंड = 5 मिनट
✅ उत्तर: 5 मिनट (300 सेकंड)
⚡

ट्रिक्स और शॉर्टकट (Tricks & Shortcuts)

प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाने के लिए तेज़ विधियाँ

⚡ ट्रिक 1: अनुपात विधि

अगर चालों का अनुपात $a:b$ है, तो समान दूरी के लिए समय का अनुपात $b:a$ होगा।

उदाहरण: चाल अनुपात 3:4 → समय अनुपात 4:3

⚡ ट्रिक 2: चाल दोगुनी = समय आधा

समान दूरी के लिए, अगर चाल दोगुनी कर दें, तो समय आधा हो जाएगा।

चाल 3 गुनी → समय $\frac{1}{3}$

⚡ ट्रिक 3: औसत चाल शॉर्टकट

समान दूरी पर दो चालें $S_1$ और $S_2$:

औसत चाल = $\frac{2S_1S_2}{S_1+S_2}$

त्वरित: $\frac{2}{\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2}}$

⚡ ट्रिक 4: km/h → m/s त्वरित

संख्या को 18 से भागो, फिर 5 से गुणा करो।

72 km/h → 72÷18 = 4 → 4×5 = 20 m/s

⚡ ट्रिक 5: रेल की लंबाई शॉर्टकट

अगर रेल खंभे को $t_1$ सेकंड में और प्लेटफॉर्म को $t_2$ सेकंड में पार करे:

रेल की लंबाई = $\frac{\text{प्लेटफॉर्म की लंबाई} \times t_1}{t_2 - t_1}$

⚡ ट्रिक 6: नाव-धारा शॉर्टकट

Downstream = $u+v$, Upstream = $u-v$

नाव = $\frac{D+U}{2}$, धारा = $\frac{D-U}{2}$

याद रखें: "नाव = औसत, धारा = आधा अंतर"

⚡ ट्रिक 7: मिलने का समय

दो व्यक्ति A और B एक-दूसरे की ओर चल रहे हैं:

मिलने का समय = $\frac{\text{कुल दूरी}}{S_A + S_B}$

A द्वारा तय दूरी = $S_A \times \text{समय}$

⚡ ट्रिक 8: LCM विधि (वृत्तीय)

वृत्तीय पथ पर starting point पर मिलने का समय = दोनों के एक चक्कर के समय का LCM

अगर A एक चक्कर 10 min में और B 15 min में लगाता है → LCM(10,15) = 30 min

⚡ ट्रिक 9: देरी/जल्दी पहुँचना

अगर चाल $\frac{a}{b}$ गुनी करने पर $t$ मिनट देरी/जल्दी:

सामान्य समय = $\frac{b \times t}{|a-b|}$

⚡ ट्रिक 10: स्टॉपेज समय

बिना रुके चाल = $S_1$, रुकते हुए चाल = $S_2$

प्रति घंटा रुकने का समय = $\frac{S_1 - S_2}{S_1} \times 60$ मिनट

🎯 परीक्षा में समय बचाने के टिप्स

1
पहले प्रश्न को ध्यान से पढ़ें — क्या पूछा गया है?
↓
2
दिया गया डेटा नोट करें — चाल, दूरी, समय, दिशा
↓
3
इकाइयाँ चेक करें — km/h और m/s में अंतर तो नहीं?
↓
4
सही सूत्र चुनें — प्रश्न के प्रकार के अनुसार
↓
5
त्वरित गणना करें — शॉर्टकट ट्रिक्स का उपयोग करें
↓
6
उत्तर चेक करें — क्या यह तार्किक है?
🧠

याद करने वाले पॉइंट्स (Memory Tricks)

सूत्रों और अवधारणाओं को हमेशा याद रखने की आसान विधियाँ

🔺
SDT त्रिभुज
D ऊपर, S और T नीचे। जो चाहिए उसे ढक दो — बाकी का ऑपरेशन करो!
🔄
5/18 और 18/5
km/h → m/s = 5/18 (छोटा करो), m/s → km/h = 18/5 (बड़ा करो)
⚖️
औसत चाल
समान दूरी: 2ab/(a+b) — "दो गुना गुणा, बटा जोड़"
🚂
रेल + प्लेटफॉर्म
प्लेटफॉर्म पार = रेल लंबाई + प्लेटफॉर्म लंबाई — "दोनों जोड़ो"
⛵
नाव-धारा
Down = u+v (साथ में जोड़), Up = u-v (विरुद्ध में घटाव)
↔️
सापेक्ष चाल
विपरीत = जोड़ (+), समान = घटाव (-) — "विपरीत जोड़, समान घटाव"

⚠️ सामान्य गलतियाँ — इनसे बचें!

गलती 1: औसत चाल में

❌ औसत चाल = $\frac{S_1 + S_2}{2}$ (गलत!)

✅ औसत चाल = $\frac{2S_1S_2}{S_1 + S_2}$ (समान दूरी के लिए सही)

गलती 2: इकाई रूपांतरण भूलना

❌ चाल km/h में, दूरी मीटर में — सीधे भाग देना (गलत!)

✅ पहले इकाइयाँ मिलाओ, फिर गणना करो

गलती 3: रेल की लंबाई भूलना

❌ प्लेटफॉर्म पार करने में केवल प्लेटफॉर्म की लंबाई लेना (गलत!)

✅ रेल की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई = कुल दूरी

गलती 4: दिशा का ध्यान न रखना

❌ समान दिशा में भी चालें जोड़ देना (गलत!)

✅ समान दिशा = घटाव, विपरीत दिशा = जोड़

📝 एक पंक्ति में याद रखें (One-Liners)

चाल = दूरी ÷ समय
दूरी = चाल × समय
समय = दूरी ÷ चाल
km/h → m/s = × 5/18
m/s → km/h = × 18/5
औसत चाल (समान दूरी) = 2S₁S₂/(S₁+S₂)
सापेक्ष चाल (विपरीत) = S₁ + S₂
सापेक्ष चाल (समान) = S₁ - S₂
Downstream = u + v
Upstream = u - v
नाव की चाल = (D + U)/2
धारा की चाल = (D - U)/2
📝

हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

आसान से कठिन तक — चरणबद्ध हल के साथ

🟢 आसान
🟡 मध्यम
🔴 कठिन
🎯 परीक्षा
📝 उदाहरण 1: चाल ज्ञात करना आसान
एक कार 240 km की दूरी 4 घंटे में तय करती है। कार की चाल ज्ञात करें।
दिया है: दूरी = 240 km, समय = 4 घंटे
चाल = दूरी ÷ समय = 240 ÷ 4 = 60 km/h
✅ उत्तर: 60 km/h
📝 उदाहरण 2: दूरी ज्ञात करना आसान
एक साइकिल सवार 15 km/h की चाल से 3 घंटे चलता है। उसने कितनी दूरी तय की?
दिया है: चाल = 15 km/h, समय = 3 घंटे
दूरी = चाल × समय = 15 × 3 = 45 km
✅ उत्तर: 45 km
📝 उदाहरण 3: समय ज्ञात करना आसान
एक बस 50 km/h की चाल से 200 km की दूरी तय करती है। कितना समय लगेगा?
दिया है: चाल = 50 km/h, दूरी = 200 km
समय = दूरी ÷ चाल = 200 ÷ 50 = 4 घंटे
✅ उत्तर: 4 घंटे
📝 उदाहरण 4: इकाई रूपांतरण आसान
90 km/h को m/s में बदलें।
90 km/h = $90 \times \frac{5}{18}$ m/s
= 5 × 5 = 25 m/s
✅ उत्तर: 25 m/s
📝 उदाहरण 5: m/s से km/h आसान
20 m/s को km/h में बदलें।
20 m/s = $20 \times \frac{18}{5}$ km/h
= 4 × 18 = 72 km/h
✅ उत्तर: 72 km/h
📝 उदाहरण 6: औसत चाल मध्यम
एक व्यक्ति 30 km/h की चाल से A से B जाता है और 20 km/h की चाल से वापस आता है। औसत चाल ज्ञात करें।
दूरी समान है, इसलिए $\frac{2S_1S_2}{S_1+S_2}$ सूत्र लगेगा
औसत चाल = $\frac{2 \times 30 \times 20}{30 + 20} = \frac{1200}{50} = 24$ km/h
✅ उत्तर: 24 km/h
📝 उदाहरण 7: रेल और प्लेटफॉर्म मध्यम
250 मीटर लंबी रेल 45 km/h की चाल से 500 मीटर लंबे पुल को कितने समय में पार करेगी?
कुल दूरी = 250 + 500 = 750 m
चाल = 45 km/h = $45 \times \frac{5}{18} = 12.5$ m/s
समय = $\frac{750}{12.5} = 60$ सेकंड = 1 मिनट
✅ उत्तर: 60 सेकंड (1 मिनट)
📝 उदाहरण 8: सापेक्ष चाल मध्यम
दो कारें 80 km/h और 60 km/h की चाल से एक ही दिशा में चल रही हैं। उनके बीच 100 km की दूरी है। तेज़ कार धीमी कार को कितने समय में पकड़ेगी?
समान दिशा → सापेक्ष चाल = 80 - 60 = 20 km/h
समय = $\frac{100}{20} = 5$ घंटे
✅ उत्तर: 5 घंटे
📝 उदाहरण 9: नाव और धारा मध्यम
एक नाव धारा के अनुकूल 20 km/h और प्रतिकूल 10 km/h चलती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात करें।
नाव की चाल = $\frac{20 + 10}{2} = 15$ km/h
धारा की चाल = $\frac{20 - 10}{2} = 5$ km/h
✅ उत्तर: नाव = 15 km/h, धारा = 5 km/h
📝 उदाहरण 10: मिश्रित प्रश्न कठिन
एक रेल 72 km/h की चाल से चलते हुए एक खंभे को 15 सेकंड में और एक प्लेटफॉर्म को 40 सेकंड में पार करती है। प्लेटफॉर्म की लंबाई ज्ञात करें।
चाल = 72 km/h = $72 \times \frac{5}{18} = 20$ m/s
रेल की लंबाई = 20 × 15 = 300 m
प्लेटफॉर्म सहित दूरी = 20 × 40 = 800 m
प्लेटफॉर्म की लंबाई = 800 - 300 = 500 m
✅ उत्तर: 500 मीटर
📝 उदाहरण 11: देरी से पहुँचना कठिन
एक व्यक्ति अपनी सामान्य चाल के $\frac{3}{4}$ से चलता है और 20 मिनट देरी से पहुँचता है। उसका सामान्य समय ज्ञात करें।
चाल $\frac{3}{4}$ गुनी → समय $\frac{4}{3}$ गुना होगा
माना सामान्य समय = $t$ मिनट
नया समय = $\frac{4}{3}t$
$\frac{4}{3}t - t = 20 \Rightarrow \frac{t}{3} = 20 \Rightarrow t = 60$ मिनट
✅ उत्तर: 60 मिनट (1 घंटा)
📝 उदाहरण 12: दो रेलें समान दिशा में कठिन
150 m और 200 m लंबी दो रेलें क्रमशः 54 km/h और 36 km/h की चाल से समान दिशा में चल रही हैं। तेज़ रेल धीमी रेल को कितने समय में पार करेगी?
कुल लंबाई = 150 + 200 = 350 m
सापेक्ष चाल = 54 - 36 = 18 km/h = $18 \times \frac{5}{18} = 5$ m/s
समय = $\frac{350}{5} = 70$ सेकंड
✅ उत्तर: 70 सेकंड (1 मिनट 10 सेकंड)
📝 उदाहरण 13: नाव का कुल समय कठिन
शांत जल में नाव की चाल 10 km/h है और धारा की चाल 2 km/h है। नाव को धारा के अनुकूल 24 km जाकर वापस आने में कितना समय लगेगा?
Downstream चाल = 10 + 2 = 12 km/h
Upstream चाल = 10 - 2 = 8 km/h
जाने का समय = $\frac{24}{12} = 2$ घंटे
आने का समय = $\frac{24}{8} = 3$ घंटे
कुल समय = 2 + 3 = 5 घंटे
✅ उत्तर: 5 घंटे
📝 उदाहरण 14: SSC Pattern परीक्षा
एक रेल 60 km/h की चाल से चलते हुए 250 m लंबे प्लेटफॉर्म को 30 सेकंड में पार करती है। रेल की लंबाई ज्ञात करें। (SSC CGL Pattern)
चाल = 60 km/h = $60 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{3}$ m/s
कुल दूरी = चाल × समय = $\frac{50}{3} \times 30 = 500$ m
रेल की लंबाई = कुल दूरी - प्लेटफॉर्म = 500 - 250 = 250 m
✅ उत्तर: 250 मीटर
📝 उदाहरण 15: Railway Pattern परीक्षा
दो स्थान A और B 360 km apart हैं। एक कार A से 40 km/h और दूसरी B से 50 km/h की चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। वे कितने समय बाद मिलेंगी? (Railway NTPC)
विपरीत दिशा → सापेक्ष चाल = 40 + 50 = 90 km/h
समय = $\frac{360}{90} = 4$ घंटे
✅ उत्तर: 4 घंटे
📝 उदाहरण 16: Banking Pattern परीक्षा
एक नाव धारा के अनुकूल 48 km दूरी 4 घंटे में और धारा के प्रतिकूल उतनी ही दूरी 6 घंटे में तय करती है। धारा की चाल ज्ञात करें। (Banking PO)
Downstream चाल = $\frac{48}{4} = 12$ km/h
Upstream चाल = $\frac{48}{6} = 8$ km/h
धारा की चाल = $\frac{12 - 8}{2} = 2$ km/h
✅ उत्तर: 2 km/h
📝 उदाहरण 17: स्टॉपेज समय परीक्षा
बिना रुके एक बस की चाल 60 km/h है और रुकते हुए उसकी चाल 45 km/h है। बस प्रति घंटा कितने मिनट रुकती है?
रुकने का समय = $\frac{60 - 45}{60} \times 60 = 15$ मिनट
✅ उत्तर: 15 मिनट प्रति घंटा
✏️

अभ्यास सेट (Practice Sets)

अभ्यास से ही perfection आता है — सभी प्रकार के प्रश्न

📝 रिक्त स्थान भरें (Fill in the Blanks)

1. चाल = दूरी ÷

2. 1 km/h = m/s

3. समान दूरी के लिए औसत चाल =

4. विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = S₁ S₂

5. Downstream चाल = u v

✅ सत्य या असत्य (True or False)

1. औसत चाल हमेशा चालों के साधारण औसत के बराबर होती है।

2. km/h को m/s में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करते हैं।

3. समान दिशा में सापेक्ष चाल = S₁ + S₂

4. रेल द्वारा खंभा पार करने में केवल रेल की लंबाई तय होती है।

5. Upstream चाल = u + v

🎯 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ Quiz)

1
एक कार 120 km की दूरी 2 घंटे में तय करती है। उसकी चाल क्या है?
A) 40 km/h
B) 60 km/h
C) 80 km/h
D) 100 km/h
2
36 km/h को m/s में बदलें।
A) 5 m/s
B) 8 m/s
C) 10 m/s
D) 12 m/s
3
एक व्यक्ति 40 km/h से जाता है और 60 km/h से वापस आता है। औसत चाल क्या है?
A) 48 km/h
B) 50 km/h
C) 52 km/h
D) 55 km/h
4
200 m लंबी रेल 36 km/h की चाल से एक खंभे को कितने समय में पार करेगी?
A) 10 सेकंड
B) 15 सेकंड
C) 18 सेकंड
D) 20 सेकंड
5
नाव की Downstream चाल 15 km/h और Upstream चाल 9 km/h है। धारा की चाल क्या है?
A) 2 km/h
B) 3 km/h
C) 4 km/h
D) 6 km/h
6
दो कारें 50 km/h और 70 km/h की चाल से विपरीत दिशा में चल रही हैं। उनकी सापेक्ष चाल क्या है?
A) 20 km/h
B) 60 km/h
C) 120 km/h
D) 35 km/h
7
एक रेल 90 km/h की चाल से 12 सेकंड में खंभा पार करती है। रेल की लंबाई क्या है?
A) 300 m
B) 250 m
C) 350 m
D) 200 m
8
15 m/s को km/h में बदलें।
A) 36 km/h
B) 45 km/h
C) 50 km/h
D) 54 km/h
0/8
आपका स्कोर

📝 लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions)

प्र.1: एक व्यक्ति 5 m/s की चाल से 30 मिनट चलता है। दूरी ज्ञात करें। ▼

हल:

चाल = 5 m/s, समय = 30 मिनट = 30 × 60 = 1800 सेकंड

दूरी = चाल × समय = 5 × 1800 = 9000 m = 9 km

प्र.2: 108 km/h को m/s में बदलें। ▼

हल:

108 × 5/18 = 6 × 5 = 30 m/s

प्र.3: दो कारें 45 km/h और 55 km/h से एक-दूसरे की ओर आ रही हैं। 200 km की दूरी पर हैं। कब मिलेंगी? ▼

हल:

सापेक्ष चाल = 45 + 55 = 100 km/h

समय = 200/100 = 2 घंटे

प्र.4: 300 m लंबी रेल 54 km/h से 450 m पुल पार करेगी। समय ज्ञात करें। ▼

हल:

कुल दूरी = 300 + 450 = 750 m

चाल = 54 km/h = 15 m/s

समय = 750/15 = 50 सेकंड

प्र.5: नाव की शांत जल में चाल 12 km/h, धारा 4 km/h। Downstream और Upstream चाल ज्ञात करें। ▼

हल:

Downstream = 12 + 4 = 16 km/h

Upstream = 12 - 4 = 8 km/h

🔢

इंटरएक्टिव कैलकुलेटर (Interactive Calculator)

अपने प्रश्नों को हल करें — तुरंत उत्तर पाएं

⏱️ समय-चाल-दूरी कैलकुलेटर

कोई दो मान डालें, तीसरा निकलेगा

📊 औसत चाल कैलकुलेटर

समान दूरी के लिए दो चालें डालें

🔄 इकाई रूपांतरण

🚂 रेल कैलकुलेटर

⛵ नाव और धारा कैलकुलेटर

🎯

परीक्षा टिप्स (Exam Tips)

प्रतियोगी परीक्षाओं में सफलता के लिए विशेष रणनीति

📊 परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न प्रकार

प्रश्न प्रकारSSCRailwayBankingPoliceमहत्व
रेल और प्लेटफॉर्म⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐बहुत ज़्यादा
नाव और धारा⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐ज़्यादा
औसत चाल⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐बहुत ज़्यादा
सापेक्ष चाल⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐ज़्यादा
इकाई रूपांतरण⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐मध्यम
वृत्तीय दौड़⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐मध्यम

🕳️ सामान्य जाल (Common Traps) — इनमें न फँसें!

🕳️ जाल 1: औसत चाल का जाल

परीक्षा में विकल्प में $\frac{S_1+S_2}{2}$ जरूर होता है — यह गलत है! सही उत्तर $\frac{2S_1S_2}{S_1+S_2}$ है।

🕳️ जाल 2: इकाई का जाल

चाल km/h में, दूरी मीटर में — सीधे भाग देने पर गलत उत्तर आएगा। पहले इकाइयाँ मिलाएं।

🕳️ जाल 3: रेल की लंबाई का जाल

प्लेटफॉर्म पार करने में केवल प्लेटफॉर्म की लंबाई लेना — रेल की लंबाई भी जोड़नी है!

🕳️ जाल 4: दिशा का जाल

"एक ही दिशा" और "विपरीत दिशा" में अंतर समझें — गलत दिशा लेने पर पूरा उत्तर गलत।

🕳️ जाल 5: "पार करना" vs "पहुँचना"

रेल का "पार करना" = पूरी लंबाई तय करना, "पहुँचना" = केवल सामने आना।

🏆 परीक्षा रणनीति

1
पहले आसान प्रश्न हल करें — इकाई रूपांतरण, सीधे सूत्र वाले
↓
2
फिर मध्यम प्रश्न — औसत चाल, सापेक्ष चाल
↓
3
अंत में कठिन प्रश्न — मिश्रित, बहु-चरण वाले
↓
4
विकल्प विधि — कभी-कभी विकल्पों से उत्तर जाँचना तेज़ होता है
↓
5
अनुमान विधि — उत्तर लगभग क्या होना चाहिए, इसका अनुमान लगाएं
📚

क्विक रीविज़न (Quick Revision)

परीक्षा से पहले अंतिम बार — सब कुछ एक नज़र में

चाल = दूरी ÷ समय
दूरी = चाल × समय
समय = दूरी ÷ चाल
km/h → m/s = × 5/18
m/s → km/h = × 18/5
1 km = 1000 m
औसत चाल (समान दूरी)
= $\frac{2S_1S_2}{S_1+S_2}$
= $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$
सापेक्ष चाल:
विपरीत दिशा = S₁ + S₂
समान दिशा = S₁ - S₂
रेल:
खंभा → केवल रेल की लंबाई
प्लेटफॉर्म → रेल + प्लेटफॉर्म
नाव-धारा:
Down = u + v
Up = u - v
नाव = (D+U)/2, धारा = (D-U)/2

📋 अंतिम मिनट की रीविज़न शीट

क्र.सूत्रकब उपयोग करें
1S = D/Tचाल निकालनी हो
2D = S × Tदूरी निकालनी हो
3T = D/Sसमय निकालना हो
4× 5/18km/h → m/s
5× 18/5m/s → km/h
62S₁S₂/(S₁+S₂)औसत चाल (समान दूरी)
7S₁ + S₂सापेक्ष चाल (विपरीत)
8S₁ - S₂सापेक्ष चाल (समान)
9(L₁+L₂)/(S₁+S₂)दो रेलें (विपरीत)
10(L₁+L₂)/(S₁-S₂)दो रेलें (समान)
11u+v, u-vनाव-धारा
12(D+U)/2, (D-U)/2नाव/धारा की चाल

🎓 आपने पूरा अध्याय पढ़ लिया!

अभ्यास करते रहें — सफलता जरूर मिलेगी!

"गणित डरने से नहीं, समझने से आसान होता है।"

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