Ratio and Proportion — शून्य से एडवांस्ड तक पूर्ण अध्याय
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अनुपात और समानुपात की नींव को गहराई से समझें — बिल्कुल शून्य से शुरू करते हैं
जब हम दो राशियों की तुलना भाग (division) के द्वारा करते हैं, तो उस तुलना को अनुपात कहते हैं।
सरल शब्दों में — अनुपात हमें बताता है कि एक राशि दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुनी है।
मान लीजिए राम के पास 6 आम हैं और श्याम के पास 3 आम हैं।
राम और श्याम के आमों का अनुपात = 6 : 3 = 2 : 1
इसका मतलब — राम के पास श्याम से 2 गुना आम हैं।
अनुपात के महत्वपूर्ण गुण:
अनुपात निकालते समय दोनों राशियों की इकाई समान होनी चाहिए। यदि 2 मीटर और 50 सेमी का अनुपात निकालना हो, तो पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलें: 200 सेमी : 50 सेमी = 4 : 1
जब दो अनुपात बराबर होते हैं, तो उन्हें समानुपात में कहा जाता है।
यानी, यदि a : b = c : d, तो हम कहते हैं कि a, b, c, d समानुपात में हैं। इसे a : b :: c : d लिखते हैं।
2 : 3 :: 4 : 6 — क्या यह समानुपात है?
बाह्य पदों का गुणनफल = 2 × 6 = 12
मध्य पदों का गुणनफल = 3 × 4 = 12
12 = 12 ✓ हाँ, यह समानुपात है!
समानुपात के पदों के नाम:
अनुपात गणित और वास्तविक जीवन में बहुत महत्वपूर्ण है। इसके उपयोग:
खाना, पैसा, चीज़ें बाँटने में अनुपात का उपयोग
नक्शे में स्केल — 1 सेमी = 10 किमी (अनुपात)
पिता और पुत्र की उम्र का अनुपात निकालना
व्यापार में लाभ का बँटवारा अनुपात से
दूध-पानी, सोना-चाँदी का अनुपात
गति, समय और दूरी के अनुपात
| बिंदु | अनुपात (Ratio) | भिन्न (Fraction) |
|---|---|---|
| अर्थ | दो राशियों की तुलना | एक भाग का पूर्ण से संबंध |
| रूप | a : b | a/b |
| इकाई | इकाई-रहित | इकाई-रहित |
| उदाहरण | लड़के : लड़कियाँ = 3 : 2 | लड़कों का भाग = 3/5 |
| संबंध | अनुपात 3:2 → भिन्न 3/5 और 2/5 | भिन्न 3/5 → अनुपात 3:2 |
अनुपात → भिन्न: यदि अनुपात a : b है, तो पहला भाग = a/(a+b), दूसरा भाग = b/(a+b)
भिन्न → अनुपात: यदि भिन्न a/b है, तो अनुपात = a : b
| अनुपात | भिन्न | दशमलव | प्रतिशत |
|---|---|---|---|
| 1 : 2 | 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1 : 4 | 1/4 | 0.25 | 25% |
| 3 : 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 1 : 5 | 1/5 | 0.2 | 20% |
| 2 : 5 | 2/5 | 0.4 | 40% |
| 3 : 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 1 : 3 | 1/3 | 0.333... | 33⅓% |
| 2 : 3 | 2/3 | 0.666... | 66⅔% |
| 1 : 8 | 1/8 | 0.125 | 12.5% |
| 3 : 8 | 3/8 | 0.375 | 37.5% |
हर प्रकार को विस्तार से समझें — परीक्षा में हर प्रकार से प्रश्न आते हैं
अनुपात को सरलतम रूप में लाने के लिए दोनों पदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालकर दोनों को उससे भाग देते हैं।
विधि:
24 और 36 का HCF = 12
24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3
दशमलव हटाने के लिए दोनों को 10 से गुणा करें: 15 : 25
15 और 25 का HCF = 5
15 ÷ 5 = 3, 25 ÷ 5 = 5
जब एक अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो प्राप्त अनुपात मूल अनुपात के तुल्य (equivalent) होता है।
उदाहरण: 2 : 3 के तुल्य अनुपात:
तुल्य अनुपात भिन्न के तुल्य भिन्नों जैसा ही है। जैसे 1/2 = 2/4 = 3/6, वैसे ही 1:2 = 2:4 = 3:6
दो अनुपातों की तुलना करने के लिए उन्हें भिन्न में बदलकर LCM विधि या वज्र-गुणन (cross-multiplication) विधि से तुलना करते हैं।
विधि 1: LCM विधि
3:4 और 5:6 की तुलना:
3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12 → 10/12 > 9/12 → 5:6 > 3:4
विधि 2: वज्र-गुणन (Cross-Multiplication)
3:4 और 5:6 → 3×6 = 18, 4×5 = 20 → 18 < 20 → 3:4 < 5:6
वज्र-गुणन तेज़ है — a:b और c:d की तुलना में: यदि a×d > b×c तो a:b बड़ा है
दो या अधिक अनुपातों के पूर्व पदों का गुणनफल और पर पदों का गुणनफल लेकर जो अनुपात बनता है, उसे मिश्र अनुपात कहते हैं।
मिश्र अनुपात = (2×4×6) : (3×5×7) = 48 : 105
48 और 105 का HCF = 3 → 48÷3 : 105÷3 = 16 : 35
किसी अनुपात के दोनों पदों का वर्ग (square) करने पर जो अनुपात प्राप्त होता है, उसे द्विगुणित अनुपात कहते हैं।
उदाहरण: 3 : 4 का द्विगुणित अनुपात = 3² : 4² = 9 : 16
किसी अनुपात के दोनों पदों का घन (cube) करने पर जो अनुपात प्राप्त होता है।
उदाहरण: 2 : 3 का त्रिगुणित अनुपात = 2³ : 3³ = 8 : 27
किसी अनुपात के दोनों पदों का वर्गमूल (square root) निकालने पर प्राप्त अनुपात।
उदाहरण: 9 : 16 का उप-द्विगुणित अनुपात = √9 : √16 = 3 : 4
किसी अनुपात के दोनों पदों का घनमूल (cube root) निकालने पर प्राप्त अनुपात।
उदाहरण: 8 : 27 का उप-त्रिगुणित अनुपात = ∛8 : ∛27 = 2 : 3
अनुपात के दोनों पदों को उलट देने पर प्राप्त अनुपात।
उदाहरण: 5 : 7 का व्युत्क्रम अनुपात = 7 : 5
जब एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि भी उसी अनुपात में बढ़ती है (या घटने पर घटती है)।
उदाहरण: 5 कलमों का मूल्य ₹50 है, तो 8 कलमों का मूल्य?
5/50 = 8/x → x = (50×8)/5 = ₹80
जब एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि उसी अनुपात में घटती है।
उदाहरण: 10 मजूर एक काम 6 दिन में करते हैं। 15 मजूर कितने दिन में करेंगे?
10 × 6 = 15 × x → x = 60/15 = 4 दिन
जब तीन या अधिक राशियाँ इस प्रकार हों कि पहली और दूसरी का अनुपात = दूसरी और तीसरी का अनुपात।
जब दो या अधिक व्यक्ति मिलकर व्यापार करते हैं, तो लाभ या हानि उनके निवेश × समय के अनुपात में बँटती है।
A का निवेश × समय = 50000 × 12 = 600000
B का निवेश × समय = 40000 × 6 = 240000
अनुपात = 600000 : 240000 = 60 : 24 = 5 : 2
B का भाग = (2/7) × 36000 = ₹10285.71
किसी राशि को दिए गए अनुपात में बाँटने का सूत्र:
अनुपात का योग = 2 + 3 + 5 = 10
पहला भाग = (2/10) × 2400 = ₹480
दूसरा भाग = (3/10) × 2400 = ₹720
तीसरा भाग = (5/10) × 2400 = ₹1200
एक ही जगह सभी सूत्र — परीक्षा से पहले ज़रूर पढ़ें
परीक्षा में समय बचाने के लिए ये ट्रिक्स ज़रूर याद रखें
अनुपात सरल करने के लिए दोनों संख्याओं को एक-एक करके 2, 3, 5 से भाग दें।
उदाहरण: 48:72 → दोनों 24 से कटते हैं → 2:3 (तुरंत!)
a:b :: c:d में d ज्ञात करना हो: d = (b×c)/a
उदाहरण: 3:5 :: 9:x → x = (5×9)/3 = 15
A:B = 2:3, B:C = 4:5 → A:B:C = 2×4 : 3×4 : 3×5 = 8:12:15
याद रखें: पहले अनुपात को दूसरे के पहले पद से, दूसरे अनुपात को पहले के दूसरे पद से गुणा करें
यदि A ∝ B, तो A₁/B₁ = A₂/B₂ → A₂ = A₁ × (B₂/B₁)
उदाहरण: 6 किताबों का वजन 1.5 किग्रा, 10 किताबों का? → 1.5 × (10/6) = 2.5 किग्रा
यदि A ∝ 1/B, तो A₁×B₁ = A₂×B₂ → B₂ = (A₁×B₁)/A₂
उदाहरण: 8 मजूर 12 दिन में, 16 मजूर? → (8×12)/16 = 6 दिन
P% = P/(100-P) का अनुपात (शेष से)
उदाहरण: 60% = 60:40 = 3:2 | 25% = 25:75 = 1:3
संख्या अनुपात × सिक्के का मूल्य = मूल्य अनुपात। फिर कुल मूल्य से भाग दें।
उदाहरण: ₹1, 50पै, 25पै की संख्या 3:4:5, कुल ₹220 → मूल्य अनुपात = 3×1:4×0.5:5×0.25 = 3:2:1.25 = 12:8:5 → ₹1 सिक्के = (12/25)×220 = 105.6 → संख्या = 105.6/1 ≈ 106 (पूरी संख्या में)
उम्र का अनुपात ax:bx दिया हो, n साल बाद का अनुपात = (ax+n):(bx+n)
उदाहरण: A:B = 4:3, 5 साल बाद 9:7 → (4x+5)/(3x+5) = 9/7 → 28x+35 = 27x+45 → x=10 → A=40, B=30
दो बर्तनों में दूध:पानी a:b और c:d, दोनों मिलाएँ → कुल दूध : कुल पानी
उदाहरण: बर्तन A में 3:2 (50 ली), B में 4:1 (50 ली) → A में दूध=30, पानी=20 | B में दूध=40, पानी=10 → कुल दूध:पानी = 70:30 = 7:3
बड़ी संख्याओं के अनुपात में, दोनों को 10, 100, 1000 से भाग देकर लगभग मान निकालें।
उदाहरण: 487:973 ≈ 490:970 ≈ 49:97 ≈ 1:2 (लगभग)
इन ट्रिक्स से सभी सूत्र और अवधारणाएँ हमेशा याद रहेंगी
"बाह्य × बाह्य = मध्य × मध्य"
समानुपात a:b::c:d में → a×d = b×c (Extremes × Extremes = Means × Means)
"द्वि = वर्ग, त्रि = घन, उप = मूल"
द्विगुणित → वर्ग (²), त्रिगुणित → घन (³), उप-द्विगुणित → वर्गमूल (√), उप-त्रिगुणित → घनमूल (∛)
"प्रत्यक्ष = साथ-साथ, व्युत्क्रम = उल्टा"
प्रत्यक्ष में दोनों साथ बढ़ते/घटते, व्युत्क्रम में एक बढ़े तो दूसरा घटे
"CD Rule: Componendo = जोड़ो, Dividendo = घटाओ"
Componendo & Dividendo: (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
2 मीटर : 50 सेमी ≠ 2:50। सही: 200 सेमी : 50 सेमी = 4:1
6:8 लिखना गलत नहीं, लेकिन परीक्षा में 3:4 लिखना चाहिए (सरलतम रूप)
"ज्यादा मजूर = कम दिन" → यह व्युत्क्रम है, प्रत्यक्ष नहीं! सावधान रहें।
साझेदारी में केवल निवेश नहीं, निवेश × समय का अनुपात लेना होता है!
a:b = 2:3, b:c = 4:5 → a:c ≠ 2:5! सही: a:b:c = 8:12:15 → a:c = 8:15
शुरुआती से एडवांस्ड तक — हर प्रकार के प्रश्न का विस्तृत हल
इकाई समान करें: 1.5 घंटे = 90 मिनट
अनुपात = 45 : 90
HCF = 45 → 45÷45 : 90÷45 = 1 : 2
माना a = 3x, b = 5x
2a+3b = 2(3x)+3(5x) = 6x+15x = 21x
4a+b = 4(3x)+5x = 12x+5x = 17x
अनुपात = 21x : 17x = 21 : 17
अनुपात का योग = 3+4 = 7
पहला भाग = (3/7) × 560 = ₹240
दूसरा भाग = (4/7) × 560 = ₹320
मध्यनुपाती = √(4×16) = √64 = 8
द्विगुणित अनुपात = 3² : 5² = 9 : 25
B को समान करना है। पहले अनुपात में B=4, दूसरे में B=5
A:B = 3:4 को 5 से गुणा → 15:20
B:C = 5:6 को 4 से गुणा → 20:24
A:B:C = 15:20:24
माना संख्याएँ 5x और 8x हैं
(5x+9)/(8x+9) = 8/11
11(5x+9) = 8(8x+9) → 55x+99 = 64x+72
99-72 = 64x-55x → 27 = 9x → x = 3
छोटी संख्या = 5x = 5×3 = 15
अनुपात का योग = 7+5 = 12
लड़कों का भाग = 7/12
लड़कों की संख्या = (7/12) × 144 = 7 × 12 = 84
निवेश अनुपात = 30000:45000:60000 = 30:45:60 = 2:3:4
समय समान है, इसलिए लाभ अनुपात = 2:3:4
कुल भाग = 2+3+4 = 9
A का भाग = (2/9)×54000 = ₹12000
B का भाग = (3/9)×54000 = ₹18000
C का भाग = (4/9)×54000 = ₹24000
बर्तन 1: दूध = 5/7, पानी = 2/7
बर्तन 2: दूध = 7/13, पानी = 6/13
माना x लीटर बर्तन 1 से और y लीटर बर्तन 2 से मिलाते हैं
कुल दूध = 5x/7 + 7y/13, कुल पानी = 2x/7 + 6y/13
(5x/7 + 7y/13) / (2x/7 + 6y/13) = 9/4
4(65x+49y)/91 = 9(26x+42y)/91 → 260x+196y = 234x+378y
26x = 182y → x/y = 182/26 = 7/1
माना A = 5x, B = 3x
(5x-4)/(3x+4) = 1/1 → 5x-4 = 3x+4 → 2x = 8 → x = 4
A = 20, B = 12
4 साल बाद A = 24, 4 साल पहले B = 8
अनुपात = 24:8 = 3:1
माना a=2x, b=3x, c=5x
(2x)²+(3x)²+(5x)² = 152 → 4x²+9x²+25x² = 152
38x² = 152 → x² = 4 → x = 2
a = 4, b = 6, c = 10
Componendo & Dividendo लागू करें
((a+b)+(a-b))/((a+b)-(a-b)) = (5+3)/(5-3)
2a/2b = 8/2 → a/b = 4/1
माना सिक्कों की संख्या: ₹1 = 8x, 50पै = 4x, 25पै = 3x
कुल मूल्य = 8x×1 + 4x×0.5 + 3x×0.25 = 8x + 2x + 0.75x = 10.75x
10.75x = 280 → x = 280/10.75 = 28000/1075 = 26.05...
पुनः जाँच: 8x + 2x + 0.75x = 10.75x = 280 → x = 280/(43/4) = 280×4/43 = 1120/43
50 पैसे के सिक्के = 4x = 4 × 1120/43 = 4480/43 ≈ 104.19
यह प्रश्न पूर्णांक उत्तर के लिए अनुपात में समायोजन चाहता है। परीक्षा में विकल्प देखकर हल करें।
माना A की आय = 5x, B की आय = 4x
A का खर्च = 4y, B का खर्च = 3y
5x - 4y = 1500 ...(i) और 4x - 3y = 1500 ...(ii)
(i)×3: 15x - 12y = 4500, (ii)×4: 16x - 12y = 6000
घटाने पर: x = 1500
A की आय = 5x = 5 × 1500 = ₹7500
मूल्य अनुपात = 13:11:7
संख्या अनुपात = 13/1 : 11/0.5 : 7/0.25 = 13 : 22 : 28
कुल भाग = 13+22+28 = 63
50 पैसे के सिक्के = (22/63) × 378 = 22 × 6 = 132
अभ्यास से ही परीक्षा में सफलता मिलती है — सभी प्रकार के प्रश्न हल करें
1. 3:5 :: 9: का मान है।
2. 4 और 9 का मध्यनुपाती है।
3. 2:3 का व्युत्क्रम अनुपात है।
4. समानुपात a:b::c:d में बाह्य पदों का गुणनफल = (मध्य पदों का गुणनफल)।
5. 50% को अनुपात में बदलने पर प्राप्त होता है।
1. अनुपात की कोई इकाई नहीं होती।
2. 3:5 और 6:10 तुल्य अनुपात हैं।
3. प्रत्यक्ष समानुपात में एक राशि बढ़ने पर दूसरी घटती है।
4. 2:3 का त्रिगुणित अनुपात 8:27 है।
5. साझेदारी में लाभ केवल निवेश के अनुपात में बँटता है।
परीक्षा में क्या आता है, कैसे आता है, और कैसे हल करें
| प्रकार | SSC | Railway | Banking | Police | महत्व |
|---|---|---|---|---|---|
| अनुपात सरलीकरण | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| समानुपात (चतुर्थानुपाती) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| मध्यनुपाती / तृतीयानुपाती | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| उम्र आधारित प्रश्न | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| साझेदारी | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐ |
| सिक्का प्रश्न | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐ |
| मिश्रण / Alligation | ✓ | ✓ | ✓ | — | ⭐⭐⭐⭐ |
| A:B:C संयोजन | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| प्रत्यक्ष/व्युत्क्रम समानुपात | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ⭐⭐⭐⭐ |
| आय-व्यय-बचत | ✓ | ✓ | ✓ | — | ⭐⭐⭐⭐ |
प्रश्न: "दोनों में 5 जोड़ने पर अनुपात क्या होगा?" — सीधे अनुपात में 5 न जोड़ें! पहले x का मान निकालें, फिर जोड़ें।
साझेदारी में यदि A ने 12 महीने और B ने 8 महीने निवेश किया, तो समय अलग-अलग लें। दोनों का समय समान न मानें!
सिक्कों के प्रश्न में संख्या का अनुपात और मूल्य का अनुपात अलग-अलग होता है। प्रश्न ध्यान से पढ़ें!
उम्र प्रश्न में "5 साल पहले" = (x-5), "5 साल बाद" = (x+5)। इन्हें उल्टा न करें!
नीचे A का मान बदलें — B प्रत्यक्ष समानुपात में बदलेगा (A:B = 2:3)
A:B = 4:6 = 2:3 ✓
अनुपात और समानुपात के प्रश्न तुरंत हल करें
परीक्षा से पहले यह सेक्शन ज़रूर पढ़ें — सब कुछ एक नज़र में
सरल, तुल्य, मिश्र, द्विगुणित, त्रिगुणित, उप-द्विगुणित, उप-त्रिगुणित, व्युत्क्रम
प्रत्यक्ष (Direct), व्युत्क्रम (Inverse), सतत (Continued)
a:b::c:d → ad=bc | मध्यनुपाती=√(ac) | तृतीयानुपाती=b²/a | चतुर्थानुपाती=bc/a
a/b=c/d → (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)
A:B=a:b, B:C=c:d → A:B:C = ac:bc:bd
लाभ अनुपात = (निवेश₁×समय₁) : (निवेश₂×समय₂)
P% = P:(100-P) | a/b = a:b | a:b → a/(a+b)×100%
अनुपात unitless | इकाई समान करें | सरलतम रूप में लिखें | ad=bc चेक करें