🧪 मिश्रण और एलिगेशन

Mixture & Alligation — शून्य से एडवांस्ड तक पूर्ण अध्याय। स्कूल परीक्षा, SSC, Railway, Banking, Police और सभी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए।

📚 30+ सूत्र ✏️ 25+ हल उदाहरण 🎯 20+ अभ्यास प्रश्न ⚡ शॉर्टकट ट्रिक्स 🧮 इंटरैक्टिव कैलकुलेटर
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परिचय📖 अवधारणा💡 सूत्र📋 उदाहरण✏️ ट्रिक्स⚡ कैलकुलेटर🧮 अभ्यास🎯 रिवीज़न📝
🔍

📖 परिचय — मिश्रण और एलिगेशन क्या है?

सबसे पहले बेसिक समझते हैं। घबराइए मत, हम एकदम शून्य से शुरू करेंगे!

🥛 मिश्रण (Mixture) क्या है?

जब दो या दो से अधिक पदार्थों को मिलाया जाता है, तो जो नया मिश्रण बनता है, उसे मिश्रण (Mixture) कहते हैं।


उदाहरण:

  • दूध + पानी = दूध-पानी का मिश्रण
  • चावल ₹20/kg + चावल ₹30/kg = मिश्रित चावल
  • सोना + चाँदी = मिश्र धातु (Alloy)
  • शराब + पानी = शराब-पानी मिश्रण
💡 सरल भाषा में

मिश्रण का मतलब है — "मिलावट"। जब भी दो चीज़ें मिलती हैं, मिश्रण बनता है।

⚖️ एलिगेशन (Alligation) क्या है?

एलिगेशन (Alligation) एक गणितीय नियम/तरीका है जिससे हम पता लगाते हैं कि:


  • दो या अधिक चीज़ों को किस अनुपात (ratio) में मिलाना चाहिए
  • ताकि मिश्रण का औसत मूल्य (mean price) या सांद्रता (concentration) एक निश्चित मान आए

एलिगेशन शब्द लैटिन भाषा के "alligare" से आया है जिसका अर्थ है "बाँधना" — यानी दो चीज़ों को एक अनुपात में बाँधना।

🎯 याद रखें: मिश्रण = "क्या मिला", एलिगेशन = "कितने अनुपात में मिला"

🤔 यह अध्याय क्यों ज़रूरी है?

मिश्रण और एलिगेशन प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले टॉपिक्स में से एक है:


SSC
2-3 प्रश्न/वर्ष
Bank
2-4 प्रश्न/वर्ष
Railway
1-3 प्रश्न/वर्ष

इसके अलावा, Police, State PSC, CAT, CLAT और अन्य परीक्षाओं में भी इससे प्रश्न आते हैं।

🌍 वास्तविक जीवन में मिश्रण के उदाहरण

🥛
दूध-पानी

दूध में पानी मिलाना — सबसे कॉमन उदाहरण

🍵
चाय मिश्रण

अलग-अलग कीमत की चाय मिलाना

⛽
ईंधन मिश्रण

पेट्रोल में एथनॉल मिलाना

💎
सोना-चाँदी

गहनों में मिश्र धातु बनाना

🧪
रसायन मिश्रण

लैब में एसिड की सांद्रता बदलना

🍷
शराब-पानी

वाइन में पानी मिलाना/निकालना

💡 अवधारणा स्पष्टता — Concept Clarity

हर कॉन्सेप्ट को गहराई से समझें — ताकि कोई doubt न रहे!

🤔 मिश्रण और एलिगेशन में क्या अंतर है? ▼
पहलूमिश्रण (Mixture)एलिगेशन (Alligation)
अर्थदो या अधिक पदार्थों को मिलानामिलाने का अनुपात ज्ञात करने की विधि
प्रकृतियह एक "वस्तु/परिणाम" हैयह एक "नियम/तरीका" है
प्रश्न प्रकार"मिश्रण में दूध कितना है?""किस अनुपात में मिलाएँ?"
उदाहरणदूध + पानी = मिश्रण2:1 के अनुपात में मिलाओ
संबंधमिश्रण "क्या" हैएलिगेशन "कैसे" बताता है
💡 सरल उदाहरण

अगर आप शरबत बनाते हैं — चीनी + पानी = मिश्रण। लेकिन "कितनी चीनी और कितना पानी" — यह एलिगेशन से पता चलता है।

📊 एलिगेशन नियम क्यों काम करता है? (Why does it work?) ▼

एलिगेशन नियम भारित औसत (Weighted Average) के सिद्धांत पर काम करता है।


मान लीजिए:

  • सस्ती वस्तु का मूल्य = ₹C प्रति kg
  • महँगी वस्तु का मूल्य = ₹D प्रति kg
  • मिश्रण का औसत मूल्य = ₹M प्रति kg

अब, अगर हम सस्ती वस्तु की मात्रा = \(q_1\) और महँगी वस्तु की मात्रा = \(q_2\) लें, तो:

\(\frac{C \times q_1 + D \times q_2}{q_1 + q_2} = M\)

इस समीकरण को हल करने पर:

\(C \cdot q_1 + D \cdot q_2 = M \cdot q_1 + M \cdot q_2\)
\(q_1(C - M) = q_2(M - D)\)
\(\frac{q_1}{q_2} = \frac{D - M}{M - C}\)

यही एलिगेशन नियम है! यह भारित औसत का ही एक सुंदर रूप है।

💡 समझने का आसान तरीका

एलिगेशन क्रॉस-मेथड में, हम "कितना दूर है" देखते हैं। जो जितना दूर होगा, उसकी मात्रा उतनी कम होगी। यह see-saw (झूला) की तरह है — भारी चीज़ पास, हल्की चीज़ दूर!

🔄 सांद्रता (Concentration) और तनुकरण (Dilution) में अंतर ▼
पहलूसांद्रता (Concentration)तनुकरण (Dilution)
अर्थमिश्रण में मुख्य पदार्थ की मात्रापानी/द्रावक मिलाकर सांद्रता कम करना
दिशाबढ़ सकती है या घट सकती हैहमेशा घटती है
उदाहरण80% दूध का मतलब सांद्रता 80%दूध में पानी मिलाना = तनुकरण
सूत्र\(\frac{\text{मुख्य पदार्थ}}{\text{कुल मिश्रण}} \times 100\)\(C_1V_1 = C_2V_2\)
🔗 अनुपात (Ratio) और मिश्रण का संबंध ▼

मिश्रण के हर प्रश्न में अनुपात (Ratio) सबसे महत्वपूर्ण होता है।


उदाहरण: दूध : पानी = 3 : 2 का मतलब:

  • कुल भाग = 3 + 2 = 5
  • दूध का हिस्सा = \(\frac{3}{5}\) = 60%
  • पानी का हिस्सा = \(\frac{2}{5}\) = 40%

🎯 महत्वपूर्ण: अनुपात को हमेशा "भाग" (parts) में सोचें। 3:2 मतलब 3 भाग दूध और 2 भाग पानी।

अनुपात बदलने के तरीके:

1️⃣ पानी मिलाएँ → दूध का अनुपात घटेगा
2️⃣ दूध मिलाएँ → दूध का अनुपात बढ़ेगा
3️⃣ मिश्रण निकालकर पानी भरें → प्रतिस्थापन (Replacement)
🔁 प्रतिस्थापन (Replacement) से सांद्रता कैसे बदलती है? ▼

जब मिश्रण में से कुछ मात्रा निकालकर उसकी जगह पानी (या दूसरा पदार्थ) भरा जाता है, तो:


हर बार प्रतिस्थापन में, मूल पदार्थ की मात्रा गुणोत्तर रूप से (geometrically) घटती है:

\(\text{अंतिम मात्रा} = \text{प्रारंभिक मात्रा} \times \left(1 - \frac{\text{निकाली गई मात्रा}}{\text{कुल मात्रा}}\right)^n\)

जहाँ \(n\) = प्रतिस्थापन की संख्या


⚠️ सामान्य गलती

छात्र अक्सर सोचते हैं कि 2 बार 10% निकालने = 20% निकालना। यह गलत है! हर बार बची हुई मात्रा से निकलता है, इसलिए यह compound की तरह काम करता है।

🎯 प्रश्न में सही विधि कैसे पहचानें? ▼
प्रश्न में दिखेविधिउदाहरण
"किस अनुपात में मिलाएँ?"एलिगेशन क्रॉस-मेथड₹20 और ₹30 के चावल को किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹25/kg हो?
"मिश्रण में X कितना है?"अनुपात विधिदूध:पानी = 3:2, कुल 50L → दूध = ?
"निकालकर पानी भरा"प्रतिस्थापन सूत्र10L निकालकर पानी भरा, 3 बार किया
"लाभ/हानि" + मिश्रणCP + एलिगेशनमिश्रण को ₹X में बेचने पर Y% लाभ
"सांद्रता X% से Y%"सांद्रता सूत्र / एलिगेशन40% एसिड को 60% बनाना है
"औसत मूल्य"एलिगेशन / भारित औसतदो प्रकार की वस्तुओं का औसत मूल्य

📦 मिश्रण के प्रकार (Types of Mixtures)

मिश्रण कई प्रकार के होते हैं — हर प्रकार को समझें

1️⃣ सरल मिश्रण (Simple Mixture)

जब केवल दो पदार्थ मिलाए जाते हैं।


उदाहरण: दूध + पानी

दूध : पानी = 4 : 1 → कुल 5 भाग

दूध % = \(\frac{4}{5} \times 100 = 80\%\)

2️⃣ यौगिक मिश्रण (Compound Mixture)

जब दो या अधिक मिश्रणों को आपस में मिलाया जाता है।


उदाहरण:

बर्तन A: दूध:पानी = 3:2

बर्तन B: दूध:पानी = 5:3

दोनों को मिलाने पर नया अनुपात = ?

💡 विधि

हर मिश्रण में दूध और पानी की अलग-अलग मात्रा निकालें, फिर जोड़ें।

3️⃣ प्रतिस्थापन मिश्रण (Replacement)

जब मिश्रण से कुछ भाग निकालकर दूसरा पदार्थ भरा जाता है।


उदाहरण: 40L दूध में से 8L निकालकर 8L पानी भरा। यह प्रक्रिया 3 बार दोहराई।

शेष दूध = \(40 \times \left(1 - \frac{8}{40}\right)^3\)

4️⃣ मूल्य-आधारित मिश्रण (Cost-based)

जब अलग-अलग कीमत की वस्तुओं को मिलाया जाता है।


उदाहरण: ₹20/kg चावल + ₹35/kg चावल → मिश्रण का औसत मूल्य = ?

🎯 याद रखें: औसत मूल्य हमेशा दोनों मूल्यों के बीच में होगा।

⚖️ एलिगेशन का नियम (Rule of Alligation)

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण नियम है — इसे पूरी तरह समझें!

📐 एलिगेशन क्रॉस-मेथड (Cross Method)

एलिगेशन का नियम बताता है कि दो वस्तुओं को किस अनुपात में मिलाना चाहिए ताकि मिश्रण का औसत मूल्य एक निश्चित मान आए।


सस्ता मूल्य
C
महँगा मूल्य
D
✕
माध्य मूल्य (Mean Price)
M
⬇️ अनुपात ⬇️
D − M
M − C
अनुपात = (D − M) : (M − C)
🎯 क्रॉस-मेथड याद रखने का तरीका:
"सस्ते का भाग = महँगे का अंतर" और "महँगे का भाग = सस्ते का अंतर"
यानी क्रॉस (तिरछा) घटाओ!

📝 उदाहरण से समझें:

₹20/kg और ₹35/kg के चावल को किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹25/kg का हो?


₹20
₹35
✕
₹25
⬇️
35−25 = 10
25−20 = 5
अनुपात = 10 : 5 = 2 : 1
💡 जाँच (Verification)

2 kg ₹20 वाले + 1 kg ₹35 वाले = कुल ₹(40+35) = ₹75, कुल मात्रा = 3 kg
औसत = 75/3 = ₹25/kg ✅ सही!

📊 माध्य मूल्य (Mean Price) की अवधारणा

माध्य मूल्य (Mean Price) वह औसत मूल्य है जो मिश्रण के प्रति इकाई (per unit) होता है।

\(\text{माध्य मूल्य (M)} = \frac{\text{कुल मूल्य}}{\text{कुल मात्रा}} = \frac{C_1 q_1 + C_2 q_2}{q_1 + q_2}\)
⚠️ महत्वपूर्ण बातें
  • माध्य मूल्य हमेशा सस्ते और महँगे मूल्य के बीच होता है: C < M < D
  • माध्य मूल्य कभी भी दोनों मूल्यों से बाहर नहीं हो सकता
  • अगर M = C या M = D, तो केवल एक ही वस्तु है (कोई मिश्रण नहीं)

📋 सभी महत्वपूर्ण सूत्र (All Important Formulas)

हर सूत्र को समझें, याद करें और लागू करना सीखें

📌 सूत्र 1: एलिगेशन नियम (Alligation Rule)

\(\frac{\text{सस्ती मात्रा}}{\text{महँगी मात्रा}} = \frac{D - M}{M - C}\)
जहाँ: C = सस्ता मूल्य, D = महँगा मूल्य, M = माध्य मूल्य (औसत)
याद रखें: "क्रॉस घटाओ" — सस्ते से M घटाओ, D से M घटाओ
🧠 याद करने की ट्रिक: "सस्ता ऊपर, महँगा नीचे, क्रॉस करो अंतर!" — सस्ती मात्रा = (महँगा − माध्य), महँगी मात्रा = (माध्य − सस्ता)

📌 सूत्र 2: माध्य मूल्य (Mean Price)

\(M = \frac{C_1 q_1 + C_2 q_2 + \cdots + C_n q_n}{q_1 + q_2 + \cdots + q_n}\)
जहाँ: C₁, C₂... = विभिन्न वस्तुओं का मूल्य, q₁, q₂... = उनकी मात्राएँ
यह भारित औसत (Weighted Average) का सूत्र है।

📌 सूत्र 3: मिश्रण में अनुपात

\(\text{पदार्थ A का \%} = \frac{\text{A के भाग}}{\text{कुल भाग}} \times 100\)
उदाहरण: दूध : पानी = 3 : 2 → दूध % = 3/(3+2) × 100 = 60%

📌 सूत्र 4: दो मिश्रण मिलाने पर नया अनुपात

मिश्रण 1 (मात्रा \(V_1\)): A:B = \(a_1:b_1\)
मिश्रण 2 (मात्रा \(V_2\)): A:B = \(a_2:b_2\)

नया A = \(V_1 \times \frac{a_1}{a_1+b_1} + V_2 \times \frac{a_2}{a_2+b_2}\)
नया B = \(V_1 \times \frac{b_1}{a_1+b_1} + V_2 \times \frac{b_2}{a_2+b_2}\)
हर मिश्रण में A और B की वास्तविक मात्रा निकालें, फिर जोड़ें।

📌 सूत्र 5: तीन वस्तुओं का एलिगेशन

तीन वस्तुओं C₁ < C₂ < C₃ को M पर मिलाने के लिए:
पहले C₁ और C₃ का एलिगेशन करें, फिर C₂ को जोड़ें
या भारित औसत सूत्र उपयोग करें
ट्रिक: तीन वस्तुओं के लिए, दो-दो का एलिगेशन करें और परिणाम जोड़ें।

📌 सूत्र 6: सांद्रता (Concentration)

\(\text{सांद्रता \%} = \frac{\text{विलेय (Solute) की मात्रा}}{\text{विलयन (Solution) की कुल मात्रा}} \times 100\)
विलेय = मुख्य पदार्थ (जैसे दूध, एसिड), विलयन = कुल मिश्रण

📌 सूत्र 7: तनुकरण सूत्र (Dilution Formula)

\(C_1 V_1 = C_2 V_2\)
जहाँ: C₁ = प्रारंभिक सांद्रता, V₁ = प्रारंभिक आयतन
C₂ = अंतिम सांद्रता, V₂ = अंतिम आयतन
याद रखें: विलेय की मात्रा स्थिर रहती है, केवल आयतन बदलता है।
🧠 ट्रिक: "CV = CV" — पहले का CV = बाद का CV (विलेय नहीं बदलता!)

📌 सूत्र 8: सांद्रता बदलने के लिए पानी मिलाना

\(\text{मिलाया गया पानी} = V \times \frac{C_1 - C_2}{C_2}\)
जहाँ: V = प्रारंभिक आयतन, C₁ = प्रारंभिक सांद्रता, C₂ = अभीष्ट सांद्रता

📌 सूत्र 9: प्रतिशत से अनुपात

\(\text{अनुपात} = \frac{\text{पदार्थ \%}}{100 - \text{पदार्थ \%}}\)
उदाहरण: दूध 60% → दूध:पानी = 60:40 = 3:2

📌 सूत्र 10: प्रतिस्थापन सूत्र (Replacement Formula)

\(\text{अंतिम मात्रा} = \text{प्रारंभिक मात्रा} \times \left(1 - \frac{R}{V}\right)^n\)
जहाँ: R = हर बार निकाली गई मात्रा, V = कुल आयतन, n = प्रतिस्थापन की संख्या
महत्वपूर्ण: यह सूत्र तब लागू होता है जब हर बार उतनी ही मात्रा निकाली जाती है और पानी भरा जाता है।
🧠 ट्रिक: "1 माइनस R बटा V, पावर n" — CI के सूत्र जैसा!

📌 सूत्र 11: एक बार प्रतिस्थापन

\(\text{शेष मूल पदार्थ} = V - R = V \times \left(1 - \frac{R}{V}\right)\)
सरल स्थिति: केवल एक बार निकालकर पानी भरा।

📌 सूत्र 12: अंतिम सांद्रता (n प्रतिस्थापन बाद)

\(\text{अंतिम सांद्रता} = \text{प्रारंभिक सांद्रता} \times \left(1 - \frac{R}{V}\right)^n\)
सांद्रता भी उसी अनुपात में घटती है जिस अनुपात में मूल पदार्थ घटता है।

📌 सूत्र 13: प्रतिस्थापन में अनुपात परिवर्तन

\(\frac{\text{अंतिम मूल पदार्थ}}{\text{प्रारंभिक मूल पदार्थ}} = \left(1 - \frac{R}{V}\right)^n\)
यह अनुपात बताता है कि मूल पदार्थ कितने गुना बचा है।

📌 सूत्र 14: मिश्रण का क्रय मूल्य

\(\text{मिश्रण CP} = \frac{C_1 q_1 + C_2 q_2}{q_1 + q_2}\)
मिश्रण का प्रति इकाई क्रय मूल्य = भारित औसत

📌 सूत्र 15: लाभ सहित विक्रय मूल्य

\(SP = CP \times \left(1 + \frac{P\%}{100}\right)\)
जहाँ: CP = मिश्रण का क्रय मूल्य, P% = लाभ प्रतिशत

📌 सूत्र 16: एलिगेशन + लाभ

\(\text{अनुपात} = \frac{D - M(1+\frac{P}{100})}{M(1+\frac{P}{100}) - C}\)
जब मिश्रण को P% लाभ पर बेचना हो, तो माध्य मूल्य को SP मानकर एलिगेशन लगाएँ।
पहले CP निकालें: CP = SP / (1 + P/100), फिर एलिगेशन लगाएँ।

📌 सूत्र 17: पानी मिलाने पर लाभ (मुफ्त पानी)

\(\text{लाभ \%} = \frac{\text{पानी की मात्रा}}{\text{दूध की मात्रा}} \times 100\)
जब पानी मुफ्त हो और मिश्रण को दूध के भाव पर बेचा जाए।
उदाहरण: 10L दूध में 2L पानी → लाभ = (2/10)×100 = 20%

⚡ शॉर्टकट 1: त्वरित एलिगेशन

अनुपात = |D − M| : |M − C| (क्रॉस अंतर)
बस तिरछा घटाओ! कोई लंबा calculation नहीं।

⚡ शॉर्टकट 2: अनुपात से प्रतिशत (तुरंत)

a:b → A% = \(\frac{a}{a+b} \times 100\)
उदाहरण: 3:7 → 3/10 × 100 = 30% (तुरंत!)

⚡ शॉर्टकट 3: पानी मिलाने पर नया अनुपात

दूध:पानी = a:b, पानी x मिलाया → नया = a : (b+x)
दूध नहीं बदलता, केवल पानी बढ़ता है।

⚡ शॉर्टकट 4: औसत मूल्य तुरंत

यदि अनुपात a:b है → M = \(\frac{aC + bD}{a+b}\)
अनुपात ज्ञात हो तो औसत मूल्य तुरंत निकालें।

⚡ शॉर्टकट 5: n बार प्रतिस्थापन — त्वरित

शेष = प्रारंभिक × \(\left(\frac{V-R}{V}\right)^n\)
(V−R)/V को एक बार calculate करो, फिर power n लगाओ।

✏️ हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

आसान से कठिन तक — हर उदाहरण step-by-step समझाया गया है

🟢 आसान
उदाहरण 1: दूध और पानी के मिश्रण में दूध : पानी = 4 : 1 है। यदि कुल मिश्रण 50 लीटर है, तो दूध और पानी की मात्रा ज्ञात करें।
1अनुपात = 4:1, कुल भाग = 4+1 = 5
21 भाग = 50/5 = 10 लीटर
3दूध = 4 × 10 = 40 लीटर
4पानी = 1 × 10 = 10 लीटर
✅ उत्तर: दूध = 40 लीटर, पानी = 10 लीटर
🟢 आसान
उदाहरण 2: ₹15/kg और ₹25/kg की दो प्रकार की चाय को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹20/kg हो?
1एलिगेशन नियम लगाएँ: C=15, D=25, M=20
2सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (25−20) : (20−15)
3= 5 : 5 = 1 : 1
✅ उत्तर: 1 : 1 के अनुपात में मिलाएँ
💡 तर्क

₹20 बिल्कुल बीच में है (15 और 25 का average), इसलिए अनुपात 1:1 होगा।

🟢 आसान
उदाहरण 3: एक मिश्रण में दूध 60% है। दूध और पानी का अनुपात ज्ञात करें।
1दूध = 60%, पानी = 100−60 = 40%
2अनुपात = 60 : 40 = 3 : 2
✅ उत्तर: दूध : पानी = 3 : 2
🟢 आसान
उदाहरण 4: 30 लीटर दूध-पानी मिश्रण में दूध:पानी = 4:1 है। इसमें कितना पानी मिलाएँ कि अनुपात 2:1 हो जाए?
1दूध = 30 × 4/5 = 24L, पानी = 30 × 1/5 = 6L
2माना x लीटर पानी मिलाया
3नया अनुपात: 24/(6+x) = 2/1
424 = 2(6+x) → 24 = 12+2x → 2x = 12 → x = 6
✅ उत्तर: 6 लीटर पानी मिलाना होगा
🟢 आसान
उदाहरण 5: ₹40/kg और ₹60/kg के चावल को 3:2 के अनुपात में मिलाया गया। मिश्रण का औसत मूल्य ज्ञात करें।
1औसत मूल्य = (40×3 + 60×2)/(3+2)
2= (120+120)/5 = 240/5
3= ₹48/kg
✅ उत्तर: मिश्रण का औसत मूल्य = ₹48/kg
🟡 मध्यम
उदाहरण 6: 60 लीटर दूध-पानी मिश्रण में दूध:पानी = 2:1 है। इसमें कितना पानी और मिलाएँ कि अनुपात 1:2 हो जाए?
1दूध = 60 × 2/3 = 40L, पानी = 60 × 1/3 = 20L
2माना x लीटर पानी मिलाया
340/(20+x) = 1/2
480 = 20+x → x = 60
✅ उत्तर: 60 लीटर पानी मिलाना होगा
🟡 मध्यम
उदाहरण 7: एक बर्तन में दूध:पानी = 7:5 है। 9 लीटर मिश्रण निकालकर 9 लीटर पानी भर दिया गया। अब दूध:पानी = 7:9 हो गया। बर्तन में शुरू में दूध कितना था?
1माना कुल मात्रा = V लीटर
2प्रारंभिक दूध = 7V/12
39L मिश्रण निकाला → निकला दूध = 9 × 7/12 = 21/4 L
4शेष दूध = 7V/12 − 21/4
59L पानी भरा → कुल मात्रा अभी भी V
6नया अनुपात: दूध/पानी = 7/9, अर्थात दूध = 7V/16
77V/12 − 21/4 = 7V/16
87V(1/12 − 1/16) = 21/4 → 7V(4−3)/48 = 21/4 → 7V/48 = 21/4
9V = 21×48/(4×7) = 36 लीटर
10प्रारंभिक दूध = 7×36/12 = 21 लीटर
✅ उत्तर: प्रारंभिक दूध = 21 लीटर
🟡 मध्यम
उदाहरण 8: ₹12/kg और ₹18/kg के चावल को किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण को ₹17.60/kg पर बेचने पर 10% लाभ हो?
1SP = ₹17.60, लाभ = 10%
2CP = 17.60 × 100/110 = ₹16/kg
3एलिगेशन: C=12, D=18, M=16
4अनुपात = (18−16) : (16−12) = 2 : 4 = 1 : 2
✅ उत्तर: 1 : 2 के अनुपात में मिलाएँ
⚠️ ध्यान दें

पहले SP से CP निकालना ज़रूरी है! सीधे SP पर एलिगेशन न लगाएँ।

🟡 मध्यम
उदाहरण 9: बर्तन A में दूध:पानी = 5:2 और बर्तन B में दूध:पानी = 3:4 है। दोनों को समान मात्रा में मिलाया जाए तो नया अनुपात क्या होगा?
1माना हर बर्तन से 1 लीटर लिया
2A से: दूध = 5/7 L, पानी = 2/7 L
3B से: दूध = 3/7 L, पानी = 4/7 L
4कुल दूध = 5/7 + 3/7 = 8/7 L
5कुल पानी = 2/7 + 4/7 = 6/7 L
6नया अनुपात = 8/7 : 6/7 = 4 : 3
✅ उत्तर: नया अनुपात = 4 : 3
🔴 कठिन
उदाहरण 10: 80 लीटर दूध के बर्तन से 8 लीटर दूध निकालकर 8 लीटर पानी भर दिया गया। यह प्रक्रिया 3 बार दोहराई गई। अंत में बर्तन में कितना दूध बचा?
1V = 80L, R = 8L, n = 3
2शेष दूध = 80 × (1 − 8/80)³
3= 80 × (1 − 1/10)³ = 80 × (9/10)³
4= 80 × 729/1000
5= 58.32 लीटर
✅ उत्तर: 58.32 लीटर दूध बचा
🔴 कठिन
उदाहरण 11: एक व्यापारी के पास ₹30/kg और ₹45/kg की दो प्रकार की चीनी है। वह इन्हें मिलाकर 60 kg मिश्रण बनाता है जिसका औसत मूल्य ₹35/kg है। हर प्रकार की चीनी कितनी ली?
1एलिगेशन: C=30, D=45, M=35
2अनुपात = (45−35) : (35−30) = 10 : 5 = 2 : 1
3कुल मात्रा = 60 kg, कुल भाग = 3
4₹30 वाली = 60 × 2/3 = 40 kg
5₹45 वाली = 60 × 1/3 = 20 kg
✅ उत्तर: ₹30 वाली = 40 kg, ₹45 वाली = 20 kg
🔴 कठिन
उदाहरण 12: एक बर्तन में शराब और पानी का अनुपात 5:3 है। यदि 16 लीटर मिश्रण निकालकर 16 लीटर पानी मिला दिया जाए, तो अनुपात 5:7 हो जाता है। बर्तन में शुरू में शराब कितनी थी?
1माना कुल मात्रा = V, शराब = 5V/8, पानी = 3V/8
216L मिश्रण निकाला → निकली शराब = 16 × 5/8 = 10L
3शेष शराब = 5V/8 − 10
416L पानी भरा → कुल मात्रा = V (समान)
5नया अनुपात 5:7 → शराब = 5V/12
65V/8 − 10 = 5V/12
75V(1/8 − 1/12) = 10 → 5V(3−2)/24 = 10 → 5V/24 = 10
8V = 48 लीटर
9प्रारंभिक शराब = 5×48/8 = 30 लीटर
✅ उत्तर: प्रारंभिक शराब = 30 लीटर
🔴 कठिन
उदाहरण 13: तीन प्रकार के चावल ₹20/kg, ₹28/kg और ₹36/kg हैं। इन्हें किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण का मूल्य ₹30/kg हो?
1तीन वस्तुओं के लिए, दो-दो का एलिगेशन करें
2₹20 और ₹36: अनुपात = (36−30):(30−20) = 6:10 = 3:5
3₹28 और ₹36: अनुपात = (36−30):(30−28) = 6:2 = 3:1
4अब ₹20:₹28:₹36 का अनुपात ज्ञात करना है
5माना मात्राएँ x, y, z हैं
6(20x + 28y + 36z)/(x+y+z) = 30
720x + 28y + 36z = 30x + 30y + 30z
86z = 10x + 2y → 3z = 5x + y
9एक हल: x=1, y=1 → z=2
10अनुपात = 1 : 1 : 2
✅ उत्तर: 1 : 1 : 2 के अनुपात में मिलाएँ
💡 जाँच

(20×1 + 28×1 + 36×2)/(1+1+2) = (20+28+72)/4 = 120/4 = ₹30 ✅

🎯 परीक्षा
उदाहरण 14 (SSC CGL Pattern): एक दूधवाले के पास 60 लीटर दूध है। वह इसमें पानी मिलाकर मिश्रण को दूध के क्रय मूल्य पर बेचता है और 25% लाभ कमाता है। उसने कितना पानी मिलाया?
1माना दूध का CP = ₹1/L (सरलता के लिए)
260L दूध का CP = ₹60
325% लाभ → SP = 60 × 1.25 = ₹75
4मिश्रण को ₹1/L पर बेचा → कुल मिश्रण = 75L
5पानी मिलाया = 75 − 60 = 15 लीटर
✅ उत्तर: 15 लीटर पानी मिलाया
⚡ शॉर्टकट

पानी मिलाकर दूध के भाव पर बेचने पर: लाभ% = (पानी/दूध)×100
25 = (पानी/60)×100 → पानी = 15L ✅

🎯 परीक्षा
उदाहरण 15 (Bank PO Pattern): एक बर्तन में 40 लीटर शराब है। इसमें से 4 लीटर शराब निकालकर 4 लीटर पानी भर दिया गया। यह प्रक्रिया 3 बार की गई। अंत में शराब और पानी का अनुपात क्या है?
1V=40, R=4, n=3
2शेष शराब = 40 × (1 − 4/40)³ = 40 × (9/10)³
3= 40 × 729/1000 = 29.16 लीटर
4पानी = 40 − 29.16 = 10.84 लीटर
5अनुपात = 29.16 : 10.84 = 729 : 271
✅ उत्तर: शराब : पानी = 729 : 271
🎯 परीक्षा
उदाहरण 16 (Railway Pattern): दो बर्तनों में दूध-पानी का अनुपात क्रमशः 3:1 और 5:3 है। एक नए बर्तन में इन दोनों मिश्रणों को किस अनुपात में मिलाया जाए कि नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2:1 हो?
1बर्तन 1: दूध = 3/4, पानी = 1/4
2बर्तन 2: दूध = 5/8, पानी = 3/8
3लक्ष्य: दूध = 2/3
4एलिगेशन दूध की सांद्रता पर लगाएँ:
53/4 और 5/8 को 2/3 पर मिलाना है
6अनुपात = |5/8 − 2/3| : |2/3 − 3/4|
7= |15−16|/24 : |8−9|/12 = 1/24 : 1/12
8= 1 : 2
✅ उत्तर: बर्तन 1 : बर्तन 2 = 1 : 2 के अनुपात में मिलाएँ
🎯 परीक्षा
उदाहरण 17 (SSC CHSL Pattern): एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 6:5 है। 33 लीटर मिश्रण निकालकर 13 लीटर पानी मिला दिया गया। अब अनुपात 6:7 हो गया। मिश्रण में शुरू में दूध कितना था?
1माना प्रारंभिक मात्रा = 11x (दूध=6x, पानी=5x)
233L निकाला → निकला दूध = 33×6/11 = 18L, पानी = 33×5/11 = 15L
3शेष दूध = 6x−18, शेष पानी = 5x−15
413L पानी मिलाया → पानी = 5x−15+13 = 5x−2
5(6x−18)/(5x−2) = 6/7
67(6x−18) = 6(5x−2)
742x−126 = 30x−12 → 12x = 114 → x = 9.5
8प्रारंभिक दूध = 6×9.5 = 57 लीटर
✅ उत्तर: प्रारंभिक दूध = 57 लीटर
The user wants me to continue the HTML file. I was in the middle of the examples section. Let me continue with the remaining sections: more examples, tricks, memory tricks, calculator, practice sets, exam section, and revision. Let me continue from where I left off.

⚡ ट्रिक्स और शॉर्टकट (Tricks & Shortcuts)

प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाने के लिए ये ट्रिक्स ज़रूरी हैं!

🎯 ट्रिक 1: क्रॉस-मेथड सुपर फास्ट

एलिगेशन में बस तिरछा घटाओ — कोई फॉर्मूला याद रखने की ज़रूरत नहीं!


C ← → D
   ↘ M ↙
D−M  :  M−C


उदाहरण: ₹12 और ₹20 को ₹15 पर मिलाना है

अनुपात = (20−15) : (15−12) = 5:3 → 3 सेकंड में उत्तर!

🎯 ट्रिक 2: अनुपात → प्रतिशत (मेंटल)

अनुपात देखते ही प्रतिशत बताएँ:


अनुपातकुल भागपहला %दूसरा %
1:1250%50%
1:2333.33%66.67%
1:3425%75%
1:4520%80%
2:3540%60%
3:4742.86%57.14%
3:5837.5%62.5%
4:5944.44%55.56%
💡 याद रखें

1/3=33.33%, 1/4=25%, 1/5=20%, 1/6=16.67%, 1/7=14.28%, 1/8=12.5%, 1/9=11.11%

🎯 ट्रिक 3: पानी मिलाने पर त्वरित उत्तर

दूध:पानी = a:b में पानी मिलाने पर:

मिलाया पानी = \(\frac{a \times V}{a+b} \times \frac{\text{नया b} - \text{पुराना b}}{\text{पुराना a}}\)

और भी आसान:

दूध स्थिर रहता है → दूध की मात्रा = constant

बस पानी बढ़ता है → नया पानी = पुराना पानी + मिलाया पानी

🎯 ट्रिक 4: प्रतिस्थापन — मेंटल कैलकुलेशन

हर बार R/V भाग निकलता है → बचता है (1 − R/V)


कॉमन वैल्यू याद रखें:

  • (1/2)² = 1/4, (1/2)³ = 1/8
  • (2/3)² = 4/9, (2/3)³ = 8/27
  • (3/4)² = 9/16, (3/4)³ = 27/64
  • (4/5)² = 16/25, (4/5)³ = 64/125
  • (9/10)² = 81/100, (9/10)³ = 729/1000

🎯 ट्रिक 5: मुफ्त पानी = सीधा लाभ

अगर पानी मुफ्त है और मिश्रण को दूध के भाव पर बेचते हैं:

लाभ% = \(\frac{\text{पानी}}{\text{दूध}} \times 100\)

उदाहरण: 8L दूध में 2L पानी → लाभ = 2/8 × 100 = 25%

उल्टा: 20% लाभ चाहिए → पानी:दूध = 20:100 = 1:5

🎯 ट्रिक 6: एलिगेशन + लाभ (2-स्टेप)

Step 1: SP से CP निकालो → CP = SP × 100/(100+P%)

Step 2: CP पर एलिगेशन लगाओ


उदाहरण: ₹22/kg पर बेचने पर 10% लाभ। C=₹15, D=₹25

CP = 22 × 100/110 = ₹20

एलिगेशन: (25−20):(20−15) = 5:5 = 1:1

🎯 ट्रिक 7: अनुपात सरलीकरण

बड़े अनुपात को तुरंत सरल करें:


  • दोनों को HCF से भाग दें
  • उदाहरण: 24:36 → HCF=12 → 2:3
  • उदाहरण: 45:75 → HCF=15 → 3:5

दशमलव अनुपात: 2.5:3.5 → ×10 → 25:35 → 5:7

🎯 ट्रिक 8: Approximation Method

जब options दिए हों, तो approximate करके जल्दी उत्तर पाएँ:


उदाहरण: ₹18 और ₹32 को मिलाकर ₹24 बनाना है

24, 18 के करीब है → सस्ती वस्तु ज़्यादा होगी

अनुपात = (32−24):(24−18) = 8:6 = 4:3

मेंटल चेक: 24, 18 से 6 दूर और 32 से 8 दूर → 8:6 ✅

🧠 याद करने वाले पॉइंट्स (Memory Tricks)

इन ट्रिक्स से सभी सूत्र और कॉन्सेप्ट हमेशा याद रहेंगे!

🎵 याद करने की लाइन 1: एलिगेशन

"सस्ता-महँगा क्रॉस करो,
अंतर का अनुपात लिखो!
सस्ते का भाग = महँगे का अंतर,
महँगे का भाग = सस्ते का अंतर!"

🎵 याद करने की लाइन 2: प्रतिस्थापन

"एक माइनस R बटा V,
पावर n लगाओ जी!
प्रारंभिक से गुणा करो,
शेष मात्रा पाओ जी!"

🎵 याद करने की लाइन 3: सांद्रता

"CV बराबर CV,
विलेय नहीं बदलता!
पानी मिलाओ, आयतन बढ़े,
सांद्रता घट जाती है!"

⚠️ सामान्य गलतियाँ — इनसे बचें!

❌ गलती 1

एलिगेशन में सीधा घटाना (क्रॉस नहीं करना)
✅ हमेशा तिरछा (क्रॉस) घटाएँ!

❌ गलती 2

SP पर एलिगेशन लगाना (CP निकालना भूल जाना)
✅ पहले SP → CP, फिर एलिगेशन!

❌ गलती 3

प्रतिस्थापन में n×R को कुल निकाली मात्रा मानना
✅ हर बार बची मात्रा से निकलता है!

❌ गलती 4

अनुपात में "कुल भाग" जोड़ना भूल जाना
✅ a:b → कुल = a+b, भाग = a/(a+b)

❌ गलती 5

मिश्रण निकालने पर केवल एक पदार्थ निकालना मानना
✅ मिश्रण निकालने पर दोनों पदार्थ अनुपात में निकलते हैं!

❌ गलती 6

माध्य मूल्य को C या D से बाहर लेना
✅ M हमेशा C और D के बीच होता है!

👍 थम्ब रूल्स (Thumb Rules)

✅ थम्ब रूल 1:
पानी मिलाने → दूध % घटता है
✅ थम्ब रूल 2:
दूध मिलाने → दूध % बढ़ता है
✅ थम्ब रूल 3:
M हमेशा C और D के बीच
✅ थम्ब रूल 4:
प्रतिस्थापन = Compound Interest जैसा
✅ थम्ब रूल 5:
मुफ्त पानी = सीधा लाभ %
✅ थम्ब रूल 6:
अनुपात → % = भाग/कुल × 100

🧮 इंटरैक्टिव कैलकुलेटर (Interactive Calculators)

खुद values डालकर उत्तर तुरंत पाएँ!

⚖️ एलिगेशन कैलकुलेटर

दो वस्तुओं का मूल्य और माध्य मूल्य डालें → अनुपात पाएँ

🔄 प्रतिस्थापन कैलकुलेटर

प्रारंभिक मात्रा, निकाली मात्रा और次数 डालें

📊 मिश्रण अनुपात कैलकुलेटर

अनुपात और कुल मात्रा डालें → हर पदार्थ की मात्रा पाएँ

💰 औसत मूल्य कैलकुलेटर

दो वस्तुओं का मूल्य और अनुपात डालें → औसत मूल्य पाएँ

:

🥛 दूध-पानी प्रतिस्थापन सिम्युलेटर

इंटरैक्टिव सिम्युलेटर — देखें कि प्रतिस्थापन से सांद्रता कैसे बदलती है!

दूध: 100% | पानी: 0%
100%

दूध की सांद्रता

🔄 "एक बार प्रतिस्थापन" दबाएँ...

🎯 अभ्यास सेट (Practice Sets)

अभ्यास से ही mastery मिलती है! सभी प्रश्न हल करें।

📝 रिक्त स्थान भरें (Fill in the Blanks)

1. एलिगेशन नियम में, सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (D − M) : (______)

2. दूध:पानी = 3:2 में दूध का प्रतिशत = ______%

3. प्रतिस्थापन सूत्र: शेष = प्रारंभिक × (1 − R/V) raised to power ______

4. माध्य मूल्य हमेशा सस्ते और महँगे मूल्य के ______ होता है।

5. पानी मुफ्त हो और दूध के भाव पर बेचें, तो लाभ% = (पानी/______) × 100

📋 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ Quiz)

सही विकल्प चुनें — उत्तर तुरंत दिखेगा!

प्रश्न 1: ₹16/kg और ₹24/kg के चावल को किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹20/kg का हो?

✅ सही! (24−20):(20−16) = 4:4 = 1:1

प्रश्न 2: 50 लीटर दूध-पानी मिश्रण में दूध 80% है। इसमें कितना पानी मिलाएँ कि दूध 50% हो जाए?

✅ सही! दूध = 40L, 40/(50+x) = 1/2 → x = 30L

प्रश्न 3: 100 लीटर दूध से 10 लीटर निकालकर पानी भरा। यह 2 बार किया। शेष दूध = ?

✅ सही! 100 × (1−10/100)² = 100 × 0.81 = 81L

प्रश्न 4: दूध:पानी = 5:3 है। 16 लीटर मिश्रण निकालकर 16 लीटर पानी भरा। नया अनुपात = ?

✅ सही! माना कुल = 8x, निकला दूध = 16×5/8 = 10, शेष दूध = 5x−10, पानी = 3x−6+16 = 3x+10, (5x−10)/(3x+10) = 5/9 → x=8, अनुपात = 30:54 = 5:9

प्रश्न 5: एक दूधवाला दूध में 20% पानी मिलाकर दूध के भाव पर बेचता है। उसका लाभ % = ?

✅ सही! 20% पानी मतलब पानी:दूध = 20:80 = 1:4, लाभ = 1/4 × 100 = 25%

प्रश्न 6: ₹30/kg और ₹50/kg की चीनी को 2:3 में मिलाया। मिश्रण का औसत मूल्य = ?

✅ सही! (30×2 + 50×3)/(2+3) = (60+150)/5 = 210/5 = ₹42/kg

प्रश्न 7: बर्तन A में दूध:पानी = 4:3, बर्तन B में = 2:1। दोनों को 1:1 में मिलाया। नया अनुपात = ?

✅ सही! A से: दूध=4/7, पानी=3/7; B से: दूध=2/3, पानी=1/3; कुल दूध=4/7+2/3=26/21, पानी=3/7+1/3=16/21; अनुपात=26:16... wait let me recalculate: 4/7+2/3 = (12+14)/21 = 26/21, पानी = 3/7+1/3 = (9+7)/21 = 16/21, अनुपात = 26:16 = 13:8. Let me fix this.

✅❌ सत्य/असत्य (True/False)

1. एलिगेशन में माध्य मूल्य दोनों मूल्यों के बाहर हो सकता है।
2. प्रतिस्थापन में हर बार बची मात्रा से पदार्थ निकलता है।
3. दूध:पानी = 2:3 में दूध 40% है।
4. पानी मुफ्त हो और दूध के भाव पर बेचें, तो लाभ नहीं होता।
5. C₁V₁ = C₂V₂ सूत्र तनुकरण (dilution) में उपयोग होता है।

📝 मिश्रित अभ्यास सेट (Mixed Practice)

ये प्रश्न खुद हल करें — उत्तर "हल देखें" बटन से देखें।

प्रश्न 1: ₹25/kg और ₹40/kg के चावल को किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹30/kg का हो?
1एलिगेशन: (40−30) : (30−25) = 10 : 5 = 2 : 1
✅ उत्तर: 2 : 1
प्रश्न 2: 72 लीटर दूध-पानी मिश्रण में दूध:पानी = 5:3 है। इसमें कितना पानी मिलाएँ कि अनुपात 1:1 हो जाए?
1दूध = 72×5/8 = 45L, पानी = 72×3/8 = 27L
245/(27+x) = 1/1 → 45 = 27+x → x = 18
✅ उत्तर: 18 लीटर पानी
प्रश्न 3: 60 लीटर दूध में से 6 लीटर निकालकर पानी भरा। यह 3 बार किया। शेष दूध = ?
1शेष = 60 × (1 − 6/60)³ = 60 × (9/10)³
2= 60 × 729/1000 = 43.74 लीटर
✅ उत्तर: 43.74 लीटर
प्रश्न 4: मिश्रण को ₹33/kg पर बेचने पर 10% लाभ होता है। यदि वस्तुओं का मूल्य ₹25/kg और ₹35/kg है, तो अनुपात ज्ञात करें।
1CP = 33 × 100/110 = ₹30/kg
2एलिगेशन: (35−30) : (30−25) = 5 : 5 = 1 : 1
✅ उत्तर: 1 : 1
प्रश्न 5: बर्तन A (दूध:पानी = 3:2) और बर्तन B (दूध:पानी = 7:3) को 2:3 के अनुपात में मिलाया। नया अनुपात = ?
1माना A से 2L, B से 3L लिया
2A से: दूध = 2×3/5 = 6/5, पानी = 2×2/5 = 4/5
3B से: दूध = 3×7/10 = 21/10, पानी = 3×3/10 = 9/10
4कुल दूध = 6/5 + 21/10 = 12/10 + 21/10 = 33/10
5कुल पानी = 4/5 + 9/10 = 8/10 + 9/10 = 17/10
6अनुपात = 33 : 17
✅ उत्तर: 33 : 17

🏆 परीक्षा विशेष सामग्री (Exam-Focused Content)

परीक्षा में क्या पूछा जाता है और कैसे तैयारी करें

📊 परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न प्रकार

क्रमप्रश्न प्रकारआवृत्तिकठिनाईसमय
1एलिगेशन — अनुपात ज्ञात करना⭐⭐⭐⭐⭐आसान30-45 सेकंड
2दूध-पानी मिश्रण — पानी मिलाना⭐⭐⭐⭐⭐आसान-मध्यम45-60 सेकंड
3प्रतिस्थापन — शेष मात्रा⭐⭐⭐⭐मध्यम60-90 सेकंड
4लाभ/हानि + मिश्रण⭐⭐⭐⭐मध्यम-कठिन90-120 सेकंड
5दो मिश्रण मिलाना — नया अनुपात⭐⭐⭐मध्यम60-90 सेकंड
6सांद्रता बदलना⭐⭐⭐मध्यम60-90 सेकंड
7तीन वस्तुओं का मिश्रण⭐⭐कठिन120-180 सेकंड

🪤 परीक्षा में Common Traps (जाल) — सावधान रहें!

🪤 जाल 1

"मिश्रण निकालकर पानी भरा" — छात्र सोचते हैं केवल पानी बदला। लेकिन मिश्रण निकालने पर दूध भी निकलता है!

🪤 जाल 2

"20% लाभ पर बेचा" — SP पर एलिगेशन लगा देते हैं। पहले CP निकालें!

🪤 जाल 3

"3 बार दोहराया" — 3×R को कुल निकाली मात्रा मान लेते हैं। यह compound है!

🪤 जाल 4

"अनुपात 2:3 हो गया" — पुराने और नए अनुपात को mix-up कर देते हैं। ध्यान से पढ़ें!

🪤 जाल 5

"समान मात्रा में मिलाया" — दोनों मिश्रण की मात्रा बराबर होती है, अनुपात नहीं।

🪤 जाल 6

Options में करीबी उत्तर — calculation error से गलत option चुन लेते हैं। जाँच ज़रूर करें!

📝 वन-लाइनर रिवीज़न नोट्स (One-Liner Revision)

✅ एलिगेशन = क्रॉस अंतर का अनुपात
✅ M हमेशा C और D के बीच
✅ अनुपात → % = भाग/कुल × 100
✅ % → अनुपात = % : (100−%)
✅ प्रतिस्थापन = V × (1−R/V)ⁿ
✅ C₁V₁ = C₂V₂ (तनुकरण)
✅ मुफ्त पानी लाभ = पानी/दूध × 100
✅ SP → CP = SP × 100/(100+P%)
✅ दो मिश्रण मिलाने पर अलग-अलग जोड़ें
✅ मिश्रण निकालने पर दोनों पदार्थ निकलते हैं
✅ पानी मिलाने → दूध % घटता है
✅ दूध मिलाने → दूध % बढ़ता है

🏅 परीक्षा-वार तैयारी टिप्स

🏛️ SSC (CGL, CHSL, MTS)

  • एलिगेशन क्रॉस-मेथड master करें
  • दूध-पानी प्रश्न ज़रूर आते हैं
  • प्रतिस्थापन सूत्र याद रखें
  • Speed + Accuracy ज़रूरी

🏦 Banking (IBPS, SBI)

  • लाभ/हानि + मिश्रण कॉमन
  • Data Interpretation में मिश्रण
  • Caselet type प्रश्न
  • Approximation tricks उपयोग करें

🚂 Railway (NTPC, Group D)

  • Basic एलिगेशन प्रश्न
  • अनुपात-प्रतिशत conversion
  • सीधे सूत्र-आधारित प्रश्न
  • आसान-मध्यम स्तर

👮 Police / State Exams

  • दूध-पानी + प्रतिस्थापन
  • औसत मूल्य प्रश्न
  • Direct formula-based
  • Shortcut methods उपयोग करें

📝 त्वरित रिवीज़न (Quick Revision Sheet)

परीक्षा से पहले इस शीट को एक बार ज़रूर पढ़ें!

📋 सभी सूत्र — एक नज़र में

1. एलिगेशन नियम
अनुपात = (D−M) : (M−C)
2. माध्य मूल्य
M = (C₁q₁ + C₂q₂)/(q₁+q₂)
3. प्रतिस्थापन
शेष = प्रारंभिक × (1−R/V)ⁿ
4. तनुकरण
C₁V₁ = C₂V₂
5. अनुपात → %
A% = a/(a+b) × 100
6. मुफ्त पानी लाभ
लाभ% = पानी/दूध × 100

🔑 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें

🔑 एलिगेशन केवल तभी लागू होता है जब M, C और D के बीच हो
🔑 प्रतिस्थापन compound interest जैसा काम करता है
🔑 मिश्रण निकालने पर दोनों घटक अनुपात में निकलते हैं
🔑 पानी मिलाने पर केवल पानी बढ़ता है, दूध स्थिर रहता है
🔑 लाभ वाले प्रश्नों में पहले SP → CP convert करें
🔑 1/3=33.33%, 1/7=14.28%, 1/9=11.11% याद रखें
🔑 क्रॉस-मेथड में हमेशा positive अंतर लें (बड़ा − छोटा)
🔑 तीन वस्तुओं के लिए दो-दो का एलिगेशन करें
🎓

बधाई हो! आपने पूरा अध्याय पढ़ लिया!

अब आप मिश्रण और एलिगेशन के master बन गए हैं। नियमित अभ्यास करें और परीक्षा में ज़रूर सफल होंगे!

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