शून्य से एडवांस्ड तक — स्कूल और प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए संपूर्ण मार्गदर्शिका
सबसे पहले बेसिक समझें — बिना बेसिक के आगे नहीं बढ़ सकते!
जो संख्या किसी दूसरी संख्या को पूरा-पूरा बाँट दे (बिना शेष बचे), उसे उस संख्या का गुणनखंड (Factor) कहते हैं।
सरल भाषा में: अगर A से B पूरी तरह बँट जाए, तो A, B का गुणनखंड है।
12 के गुणनखंड:
12 ÷ 1 = 12 ✓ | 12 ÷ 2 = 6 ✓ | 12 ÷ 3 = 4 ✓ | 12 ÷ 4 = 3 ✓ | 12 ÷ 6 = 2 ✓ | 12 ÷ 12 = 1 ✓
अतः 12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
• हर संख्या के कम से कम 2 गुणनखंड होते हैं — 1 और स्वयं वह संख्या।
• 1 हर संख्या का गुणनखंड है।
• गुणनखंड हमेशा संख्या से छोटे या बराबर होते हैं।
किसी संख्या को 1, 2, 3, 4... से गुणा करने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं, उन्हें उस संख्या का गुणज (Multiple) कहते हैं।
सरल भाषा में: गुणज = वह संख्या जो किसी संख्या की टेबल (पहाड़ा) में आती है।
5 के गुणज:
5 × 1 = 5, 5 × 2 = 10, 5 × 3 = 15, 5 × 4 = 20, 5 × 5 = 25, ...
अतः 5 के गुणज = 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... (अनंत)
• गुणज अनंत (infinite) होते हैं — कभी खत्म नहीं होते।
• गुणज हमेशा संख्या से बड़े या बराबर होते हैं।
• हर संख्या स्वयं अपना सबसे छोटा गुणज है।
| विशेषता | गुणनखंड (Factor) | गुणज (Multiple) |
|---|---|---|
| परिभाषा | जो संख्या पूरी बाँट दे | जो संख्या पहाड़े में आए |
| आकार | संख्या से ≤ (छोटे या बराबर) | संख्या से ≥ (बड़े या बराबर) |
| संख्या | सीमित (Finite) | अनंत (Infinite) |
| उदाहरण (6 के) | 1, 2, 3, 6 | 6, 12, 18, 24, 30... |
| संबंध | अगर A, B का factor है | तो B, A का multiple है |
| दिशा | नीचे की ओर (छोटी संख्या) | ऊपर की ओर (बड़ी संख्या) |
जिस संख्या के केवल 2 गुणनखंड हों — 1 और स्वयं वह संख्या।
उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
• 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
• 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
जिस संख्या के 2 से अधिक गुणनखंड हों।
उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16...
• 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है।
• हर भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा जा सकता है।
छात्र अक्सर confuse हो जाते हैं कि प्रश्न में HCF निकालना है या LCM।
सरल नियम: अगर "बड़ा/maximum/greatest" चाहिए → HCF | अगर "छोटा/minimum/least" चाहिए → LCM
एक दुकानदार के पास 24 लड्डू और 36 बर्फी हैं। वह इन्हें बराबर बक्सों में बाँटना चाहता है ताकि हर बक्से में समान लड्डू और समान बर्फी हों। अधिकतम कितने बक्से बन सकते हैं?
यहाँ "अधिकतम" और "बाँटना" है → HCF निकालें
HCF(24, 36) = 12 → 12 बक्से बनेंगे।
तीन घंटियाँ क्रमशः 4, 6, 8 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। अगर वे सुबह 8:00 बजे एक साथ बजीं, तो कब फिर एक साथ बजेंगी?
यहाँ "फिर एक साथ" = LCM निकालें
LCM(4, 6, 8) = 24 → 24 मिनट बाद = 8:24 बजे।
तीन छड़ें हैं जिनकी लंबाई 6 मी, 9 मी, 15 मी है। सबसे बड़ी वह छड़ कौन-सी है जिससे तीनों को पूरा-पूरा मापा जा सके?
"सबसे बड़ी माप" → HCF निकालें
HCF(6, 9, 15) = 3 → 3 मीटर की छड़ से माप सकते हैं।
Least Common Multiple — सबसे छोटी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं से पूरी बँट जाए
LCM = Least Common Multiple (लघुत्तम समापवर्त्य)
LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी-पूरी बँट जाती है (शेषफल = 0)।
सरल भाषा में: वह सबसे छोटी संख्या जो सभी संख्याओं की टेबल (पहाड़ा) में common हो।
4 और 6 का LCM ज्ञात करें।
4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
उभयनिष्ठ (Common) गुणज: 12, 24, 36...
सबसे छोटा Common: 12
प्रश्न में ये शब्द देखें → LCM निकालें:
• "सबसे छोटी संख्या" • "न्यूनतम" • "Minimum" • "Least"
• "एक साथ फिर कब" • "साथ-साथ दोहराना" • "Common multiple"
• "सभी से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या"
3 या अधिक संख्याओं का LCM भी उसी तरह निकालते हैं — वह सबसे छोटी संख्या जो सभी से बँट जाए।
6, 8 और 12 का LCM ज्ञात करें।
6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48...
8 के गुणज: 8, 16, 24, 32, 40, 48...
12 के गुणज: 12, 24, 36, 48...
सबसे छोटा Common: 24
Highest Common Factor — सबसे बड़ी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं को पूरी-पूरी बाँट दे
HCF = Highest Common Factor (महत्तम समापवर्तक)
HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी-पूरी बाँट देती है।
इसे GCD भी कहते हैं: Greatest Common Divisor (महत्तम समापवर्तक)
सरल भाषा में: वह सबसे बड़ी संख्या जिससे सभी संख्याएँ पूरी बँट जाएँ।
12 और 18 का HCF ज्ञात करें।
12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18
उभयनिष्ठ (Common) गुणनखंड: 1, 2, 3, 6
सबसे बड़ा Common: 6
प्रश्न में ये शब्द देखें → HCF निकालें:
• "सबसे बड़ी संख्या" • "अधिकतम" • "Maximum" • "Greatest"
• "बराबर बाँटना" • "सबसे बड़ी माप" • "Common factor"
• "सभी को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या"
12, 18 और 30 का HCF ज्ञात करें।
12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18
30 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
सभी में Common: 1, 2, 3, 6
सबसे बड़ा: 6
| आधार | LCM | HCF |
|---|---|---|
| पूरा नाम | Least Common Multiple | Highest Common Factor |
| हिंदी नाम | लघुत्तम समापवर्त्य | महत्तम समापवर्तक |
| अर्थ | सबसे छोटा common गुणज | सबसे बड़ा common गुणनखंड |
| आकार | संख्याओं से ≥ (बड़ा या बराबर) | संख्याओं से ≤ (छोटा या बराबर) |
| कब निकालें | Minimum/Least/छोटा चाहिए | Maximum/Greatest/बड़ा चाहिए |
| उपयोग | एक साथ होना, भिन्न जोड़ | बाँटना, समूह बनाना, सरलीकरण |
| संबंध | a × b = HCF(a,b) × LCM(a,b) | |
तीन मुख्य विधियाँ — Listing, Prime Factorization, और Division Method
सबसे आसान विधि — सभी गुणनखंड/गुणज लिखो और common ढूँढो।
20 और 30 का HCF लिस्टिंग विधि से ज्ञात करें।
20 के गुणनखंड: 1, 2, 4, 5, 10, 20
30 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Common: 1, 2, 5, 10
सबसे बड़ा Common: 10
8 और 12 का LCM लिस्टिंग विधि से ज्ञात करें।
8 के गुणज: 8, 16, 24, 32, 40, 48...
12 के गुणज: 12, 24, 36, 48, 60...
Common: 24, 48...
सबसे छोटा Common: 24
Listing Method छोटी संख्याओं के लिए अच्छी है। बड़ी संख्याओं में बहुत समय लगता है। प्रतियोगी परीक्षाओं में Prime Factorization या Division Method बेहतर है।
हर संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) में तोड़ो। यह सबसे powerful विधि है!
36 का अभाज्य गुणनखंडन करें।
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
24 और 36 का HCF अभाज्य गुणनखंडन से ज्ञात करें।
24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
Common prime factors: 2 और 3
Common की lowest power लें: 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
HCF = Common prime factors की lowest powers का गुणनफल
केवल वे prime factors लें जो सभी संख्याओं में common हों।
24 और 36 का LCM अभाज्य गुणनखंडन से ज्ञात करें।
24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²
सभी prime factors की highest power लें:
2 की highest power = 2³, 3 की highest power = 3²
LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
LCM = सभी prime factors की highest powers का गुणनफल
हर prime factor को उसकी maximum power से लें — चाहे वह किसी एक संख्या में ही हो।
बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें। फिर भाजक को शेषफल से भाग दें। यह तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF है।
56 और 98 का HCF भाग विधि से ज्ञात करें।
98 ÷ 56 = 1, शेषफल = 42
56 ÷ 42 = 1, शेषफल = 14
42 ÷ 14 = 3, शेषफल = 0
अंतिम भाजक = 14
सभी संख्याओं को एक साथ लिखें। सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो कम से कम एक को बाँट सके। जो न बँटे उसे नीचे उतार दें। यह तब तक करें जब तक सभी 1 न हो जाएँ। सभी भाजकों का गुणनफल = LCM
12, 18 और 30 का LCM भाग विधि से ज्ञात करें।
| भाजक | संख्याएँ |
|---|---|
| 2 | 12, 18, 30 |
| 3 | 6, 9, 15 |
| 2 | 2, 3, 5 |
| 3 | 1, 3, 5 |
| 5 | 1, 1, 5 |
| 1, 1, 1 |
LCM = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180
यह Division Method का ही तेज़ रूप है। प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे ज्यादा उपयोगी।
15, 25 और 35 का HCF और LCM short division से ज्ञात करें।
15 = 3 × 5
25 = 5 × 5
35 = 5 × 7
Common = 5
सभी prime factors की highest power: 3¹ × 5² × 7¹
= 3 × 25 × 7 = 525
ये सूत्र याद कर लें — हर परीक्षा में काम आएंगे!
| क्र. | सूत्र | याद रखने का तरीका |
|---|---|---|
| 1 | a × b = HCF × LCM | "गुणनफल = H × L" |
| 2 | LCM = (a×b)/HCF | "LCM = गुणनफल ÷ HCF" |
| 3 | HCF = (a×b)/LCM | "HCF = गुणनफल ÷ LCM" |
| 4 | HCF(भिन्न) = HCF(अंश)/LCM(हर) | "HCF में ऊपर HCF, नीचे LCM" |
| 5 | LCM(भिन्न) = LCM(अंश)/HCF(हर) | "LCM में ऊपर LCM, नीचे HCF" |
| 6 | HCF ≤ सबसे छोटी संख्या | "HCF हमेशा छोटा" |
| 7 | LCM ≥ सबसे बड़ी संख्या | "LCM हमेशा बड़ा" |
| 8 | सह-अभाज्य संख्याओं का HCF = 1 | "Co-prime → HCF = 1" |
| 9 | सह-अभाज्य संख्याओं का LCM = गुणनफल | "Co-prime → LCM = a × b" |
प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे ज्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न!
"HCF → ऊपर HCF, नीचे LCM"
"LCM → ऊपर LCM, नीचे HCF"
यानी HCF और LCM में numerator और denominator का rule उल्टा है!
2/3 और 4/5 का HCF और LCM ज्ञात करें।
अंशों का HCF = HCF(2, 4) = 2
हरों का LCM = LCM(3, 5) = 15
HCF = 2/15
अंशों का LCM = LCM(2, 4) = 4
हरों का HCF = HCF(3, 5) = 1
LCM = 4/1 = 4
6/7, 8/9 और 10/11 का LCM ज्ञात करें।
अंशों का LCM = LCM(6, 8, 10) = 120
हरों का HCF = HCF(7, 9, 11) = 1
दशमलव संख्याओं का HCF/LCM निकालने के लिए:
0.6, 0.9 और 0.12 का HCF और LCM ज्ञात करें।
समान दशमलव स्थान: 0.60, 0.90, 0.12
दशमलव हटाएँ: 60, 90, 12
HCF(60, 90, 12) = 6 → दशमलव लगाएँ → 0.06
LCM(60, 90, 12) = 180 → दशमलव लगाएँ → 1.80
प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाने के लिए ये ट्रिक्स जरूर सीखें!
अगर दो संख्याएँ co-prime हैं (उनका HCF = 1), तो:
LCM = दोनों का गुणनफल
उदाहरण: 7 और 11 co-prime हैं → LCM = 7 × 11 = 77
अगर बड़ी संख्या छोटी से पूरी बँट जाती है:
HCF = छोटी संख्या
LCM = बड़ी संख्या
उदाहरण: 6 और 18 → HCF = 6, LCM = 18
अगर HCF पता है:
LCM = (a × b) ÷ HCF
उदाहरण: HCF(12,18) = 6 → LCM = (12×18)/6 = 36
दो संख्याओं का HCF उनके अंतर का भी गुणनखंड होता है।
HCF(a,b), (a-b) का factor है
उदाहरण: HCF(24,36) → अंतर = 12 → 12 के factors चेक करें → HCF = 12
सबसे बड़ी संख्या से शुरू करें। चेक करें कि क्या वह सभी से बँटती है। अगर नहीं, तो उसके multiples चेक करें।
उदाहरण: LCM(4,6,8) → 8 से शुरू → 8÷6 ✗ → 16÷6 ✗ → 24÷4✓, 24÷6✓, 24÷8✓ → LCM = 24
पहले दो का HCF निकालें, फिर उस HCF का HCF तीसरी संख्या से निकालें।
HCF(a,b,c) = HCF(HCF(a,b), c)
उदाहरण: HCF(12,18,30) = HCF(HCF(12,18), 30) = HCF(6, 30) = 6
Step 1: दोनों संख्याओं का अंतर निकालें।
Step 2: अंतर के factors चेक करें (बड़े से छोटे)।
Step 3: जो factor दोनों को बाँट दे, वही HCF है!
HCF(48, 60) मानसिक गणना से निकालें।
अंतर = 60 - 48 = 12
12 के factors: 12, 6, 4, 3, 2, 1
12 से चेक: 48÷12=4 ✓, 60÷12=5 ✓
Step 1: सबसे बड़ी संख्या लें।
Step 2: चेक करें कि क्या वह सभी से बँटती है।
Step 3: अगर नहीं, तो उस संख्या का 2×, 3×, 4×... चेक करें।
LCM(6, 8, 10) तेज़ी से निकालें।
सबसे बड़ी = 10
10 ÷ 6 ✗ → 10 × 2 = 20, 20 ÷ 6 ✗ → 10 × 3 = 30, 30 ÷ 8 ✗
10 × 4 = 40, 40 ÷ 6 ✗ → 10 × 5 = 50, 50 ÷ 6 ✗ → 10 × 6 = 60
60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 8 = 7.5 ✗ → 10 × 7 = 70 ✗ → ... → 120
120 ÷ 6 = 20 ✓, 120 ÷ 8 = 15 ✓, 120 ÷ 10 = 12 ✓
तेज़ी से prime factorization करने के tips:
• हमेशा 2 से शुरू करें (सम संख्याएँ)
• फिर 3 से (अंकों का योग 3 से बँटे)
• फिर 5 से (अंत 0 या 5)
• फिर 7, 11, 13... से
• √n तक ही चेक करना काफी है
Memory Tricks — इन्हें याद कर लें, परीक्षा में कभी भूलेंगे नहीं!
| शब्द/संकेत | HCF निकालें | LCM निकालें |
|---|---|---|
| बड़ा/बड़े से बड़ा/अधिकतम | ✅ | ❌ |
| छोटा/छोटे से छोटा/न्यूनतम | ❌ | ✅ |
| बाँटना/वितरित करना | ✅ | ❌ |
| एक साथ/फिर से मिलना | ❌ | ✅ |
| समूह बनाना/टुकड़े करना | ✅ | ❌ |
| सबसे छोटी संख्या जो बँट जाए | ❌ | ✅ |
| सबसे बड़ी माप/लंबाई | ✅ | ❌ |
| घंटियाँ/बल्ब एक साथ | ❌ | ✅ |
🎤 "HCF है छोटा, LCM है बड़ा
HCF बाँटता, LCM जुड़ता
HCF में common की lowest power
LCM में सबकी highest power" 🎤
🎤 "भिन्न का HCF → ऊपर HCF नीचे LCM
भिन्न का LCM → ऊपर LCM नीचे HCF
उल्टा-सीधा याद रखो, कभी न होगा भ्रम!" 🎤
आसान से कठिन तक — हर प्रकार के उदाहरण step-by-step solution के साथ
12 और 16 का HCF ज्ञात करें।
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴
Common prime factor = 2, lowest power = 2²
6 और 9 का LCM ज्ञात करें।
6 = 2 × 3
9 = 3 × 3 = 3²
LCM = 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18
15 और 25 का HCF और LCM ज्ञात करें।
15 = 3 × 5
25 = 5 × 5 = 5²
HCF = 5¹ = 5
LCM = 3¹ × 5² = 3 × 25 = 75
जाँच: 15 × 25 = 375, HCF × LCM = 5 × 75 = 375 ✓
8, 12 और 16 का LCM ज्ञात करें।
8 = 2³
12 = 2² × 3
16 = 2⁴
LCM = 2⁴ × 3¹ = 16 × 3 = 48
दो संख्याओं का HCF = 6 और LCM = 72 है। एक संख्या 24 है। दूसरी संख्या ज्ञात करें।
सूत्र: a × b = HCF × LCM
24 × b = 6 × 72
24 × b = 432
b = 432 ÷ 24 = 18
36, 48 और 72 का HCF और LCM ज्ञात करें।
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²
HCF = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12 (common की lowest power)
LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144 (सभी की highest power)
दो संख्याओं का LCM 120 है और HCF 8 है। ऐसी संख्याएँ ज्ञात करें।
a × b = HCF × LCM = 8 × 120 = 960
माना a = 8x, b = 8y (जहाँ x, y co-prime हैं)
8x × 8y = 960 → 64xy = 960 → xy = 15
15 के co-prime pairs: (1,15), (3,5)
x=1, y=15 → a=8, b=120
x=3, y=5 → a=24, b=40
2/5, 3/10 और 4/15 का HCF और LCM ज्ञात करें।
अंशों का HCF = HCF(2, 3, 4) = 1
हरों का LCM = LCM(5, 10, 15) = 30
HCF = 1/30
अंशों का LCM = LCM(2, 3, 4) = 12
हरों का HCF = HCF(5, 10, 15) = 5
LCM = 12/5
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 62, 132 और 237 को भाग देने पर समान शेषफल दे।
अगर शेषफल समान है, तो संख्याओं के अंतर का HCF निकालें।
132 - 62 = 70
237 - 132 = 105
237 - 62 = 175
HCF(70, 105, 175) निकालें:
70 = 2 × 5 × 7
105 = 3 × 5 × 7
175 = 5 × 5 × 7
Common = 5 × 7 = 35
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 6, 8, 12 और 15 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 आए।
सबसे पहले 6, 8, 12, 15 का LCM निकालें।
6 = 2 × 3
8 = 2³
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
LCM = 2³ × 3 × 5 = 120
अब शेषफल 3 जोड़ें: 120 + 3 = 123
दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है और उनका HCF 15 है। उनका LCM ज्ञात करें।
माना संख्याएँ = 3x और 4x
HCF = x = 15
संख्याएँ = 3×15 = 45 और 4×15 = 60
LCM = (45 × 60) / HCF = 2700 / 15 = 180
या: LCM = 3 × 4 × 15 = 180 (क्योंकि 3 और 4 co-prime हैं)
[SSC CGL] वह सबसे बड़ी संख्या जिससे 964, 1238 और 1400 को भाग देने पर क्रमशः 41, 31 और 51 शेष बचते हैं, ज्ञात करें।
शेषफल घटाएँ:
964 - 41 = 923
1238 - 31 = 1207
1400 - 51 = 1349
अब HCF(923, 1207, 1349) निकालें:
923 = 13 × 71
1207 = 17 × 71
1349 = 19 × 71
Common = 71
[Railway] 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15, 18 और 27 से पूरी बँट जाए।
5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 99999
LCM(12, 15, 18, 27) निकालें:
12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 3², 27 = 3³
LCM = 2² × 3³ × 5 = 4 × 27 × 5 = 540
99999 ÷ 540 = 185 शेष 99
99999 - 99 = 99900
[Banking] तीन धावक एक वृत्ताकार ट्रैक पर दौड़ रहे हैं। वे क्रमशः 24, 36 और 48 सेकंड में एक चक्कर पूरा करते हैं। कितने समय बाद वे फिर से starting point पर मिलेंगे?
यहाँ "फिर मिलना" है → LCM निकालें
LCM(24, 36, 48):
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3
LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144 सेकंड
144 सेकंड = 2 मिनट 24 सेकंड
Real-life application problems — परीक्षा में सबसे ज्यादा पूछे जाने वाले!
चार घंटियाँ क्रमशः 6, 8, 12 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे सुबह 10:00 बजे एक साथ बजीं, तो कब फिर एक साथ बजेंगी?
"फिर एक साथ" → LCM निकालें
LCM(6, 8, 12, 18):
6 = 2 × 3, 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 मिनट
72 मिनट = 1 घंटा 12 मिनट
10:00 + 1:12 = 11:12
एक शिक्षक के पास 48 कॉपियाँ और 64 पेन हैं। वह इन्हें बराबर students में बाँटना चाहते हैं। अधिकतम कितने students में बाँट सकते हैं? हर student को कितनी कॉपियाँ और पेन मिलेंगे?
"अधिकतम" और "बाँटना" → HCF निकालें
HCF(48, 64):
48 = 2⁴ × 3, 64 = 2⁶
HCF = 2⁴ = 16
16 students में बाँट सकते हैं।
हर student को: कॉपियाँ = 48/16 = 3, पेन = 64/16 = 4
तीन बर्तनों में क्रमशः 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर दूध है। सबसे बड़ी माप कौन-सी है जिससे तीनों बर्तनों का दूध पूरी-पूरी मापा जा सके?
"सबसे बड़ी माप" → HCF निकालें
HCF(403, 434, 465):
403 = 13 × 31
434 = 2 × 7 × 31
465 = 3 × 5 × 31
Common = 31
A, B और C एक वृत्ताकार मैदान के चारों ओर क्रमशः 20, 30 और 40 मिनट में एक चक्कर लगाते हैं। यदि वे एक ही समय पर एक ही स्थान से शुरू करें, तो कितने समय बाद वे फिर उसी स्थान पर मिलेंगे?
"फिर मिलना" → LCM निकालें
LCM(20, 30, 40):
20 = 2² × 5, 30 = 2 × 3 × 5, 40 = 2³ × 5
LCM = 2³ × 3 × 5 = 120 मिनट
120 मिनट = 2 घंटे
एक कमरे की लंबाई 15 मीटर 17 सेमी और चौड़ाई 9 मीटर 2 सेमी है। वर्गाकार टाइलों की सबसे बड़ी माप क्या होगी जिससे कमरे का फर्श पूरी तरह ढक जाए (कोई टाइल न काटनी पड़े)?
सेमी में बदलें: लंबाई = 1517 सेमी, चौड़ाई = 902 सेमी
"सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल" → HCF निकालें
HCF(1517, 902):
1517 = 37 × 41
902 = 2 × 11 × 41
HCF = 41
टाइल की भुजा = 41 सेमी
टाइलों की संख्या = (1517 × 902) / (41 × 41) = 37 × 22 = 814
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 5, 6, 8, 9 और 12 से भाग देने पर हर बार 1 शेष बचे, लेकिन 13 से पूरी बँट जाए।
LCM(5, 6, 8, 9, 12) = 360
संख्या = 360k + 1 (जहाँ k = 1, 2, 3...)
k=1: 361 ÷ 13 = 27.77 ✗
k=2: 721 ÷ 13 = 55.46 ✗
k=3: 1081 ÷ 13 = 83.15 ✗
k=4: 1441 ÷ 13 = 110.85 ✗
k=5: 1801 ÷ 13 = 138.54 ✗
k=6: 2161 ÷ 13 = 166.23 ✗
k=7: 2521 ÷ 13 = 193.92 ✗
k=8: 2881 ÷ 13 = 221.62 ✗
k=9: 3241 ÷ 13 = 249.31 ✗
k=10: 3601 ÷ 13 = 277 ✓
अभ्यास ही सफलता की कुंजी है! खुद को टेस्ट करें।
1. दो संख्याओं का गुणनफल = उनके और का गुणनफल।
2. HCF हमेशा संख्या से या बराबर होता है।
3. LCM हमेशा संख्या से या बराबर होता है।
4. Co-prime संख्याओं का HCF = होता है।
5. भिन्नों का LCM = / हरों का HCF
सही विकल्प चुनें और अपना स्कोर देखें!
प्र.1: 12 और 18 का HCF क्या है?
प्र.2: 8 और 12 का LCM क्या है?
प्र.3: दो संख्याओं का HCF 8 और LCM 96 है। एक संख्या 24 है। दूसरी संख्या क्या है?
प्र.4: 2/3 और 4/5 का HCF क्या है?
प्र.5: तीन घंटियाँ 4, 6, 8 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे कितने मिनट बाद एक साथ बजेंगी?
प्र.6: 15, 25 और 35 का HCF क्या है?
प्र.7: सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का LCM क्या होता है?
प्र.8: 0.6 और 0.9 का HCF क्या है?
प्र.9: 36, 48, 72 का LCM क्या है?
प्र.10: HCF और LCM में क्या संबंध है (दो संख्याओं a और b के लिए)?
1. HCF हमेशा LCM से बड़ा होता है।
2. दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM
3. Co-prime संख्याओं का HCF = 1 होता है।
4. भिन्नों का HCF = अंशों का LCM / हरों का HCF
5. LCM हमेशा सबसे बड़ी संख्या से बड़ा या बराबर होता है।
इन प्रश्नों को खुद हल करें। उत्तर देखने के लिए बटन दबाएँ।
प्र.1: 45 और 60 का HCF और LCM ज्ञात करें।
HCF = 15, LCM = 180
प्र.2: 24, 36 और 48 का LCM ज्ञात करें।
LCM = 144
प्र.3: दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 720 है। एक संख्या 60 है। दूसरी संख्या?
दूसरी संख्या = (12 × 720) / 60 = 144
प्र.4: 3/4, 5/6 और 7/8 का LCM ज्ञात करें।
LCM = LCM(3,5,7) / HCF(4,6,8) = 105/2
प्र.5: 0.8, 0.12 और 0.24 का HCF ज्ञात करें।
0.80, 0.12, 0.24 → HCF(80,12,24) = 4 → HCF = 0.04
प्र.6: वह सबसे छोटी संख्या जो 8, 12, 16 और 20 से पूरी बँट जाए?
LCM(8,12,16,20) = 240
प्र.7: दो संख्याओं का अनुपात 5:6 है और HCF 8 है। LCM ज्ञात करें।
संख्याएँ = 40, 48 → LCM = 240
प्र.8: 100, 150 और 200 का HCF ज्ञात करें।
HCF = 50
प्रतियोगी परीक्षाओं में LCM-HCF से क्या और कैसे पूछा जाता है
| क्र. | प्रश्न प्रकार | परीक्षा | कठिनाई |
|---|---|---|---|
| 1 | दो संख्याओं का HCF/LCM निकालना | सभी | आसान |
| 2 | HCF और LCM के संबंध पर (a×b = HCF×LCM) | SSC, Railway | आसान |
| 3 | भिन्नों का HCF/LCM | SSC CGL, Banking | मध्यम |
| 4 | दशमलव का HCF/LCM | SSC, Police | मध्यम |
| 5 | शेषफल वाली समस्याएँ | SSC CGL, CHSL | कठिन |
| 6 | समान शेषफल वाली समस्या | SSC CGL | कठिन |
| 7 | अनुपात + HCF/LCM | Railway, Banking | मध्यम |
| 8 | घंटियाँ/बल्ब एक साथ (LCM application) | सभी | आसान |
| 9 | बराबर बाँटना/समूह बनाना (HCF application) | सभी | आसान |
| 10 | सबसे बड़ी/छोटी n-अंकीय संख्या | SSC, Railway | कठिन |
यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए है। 3 या अधिक संख्याओं के लिए यह लागू नहीं होता!
HCF(भिन्न) = HCF(अंश)/LCM(हर) — याद रखें: HCF में नीचे LCM आता है!
दशमलव हटाने के बाद HCF/LCM निकालें, फिर दशमलव वापस लगाना न भूलें!
"बड़ा" चाहिए → HCF, "छोटा" चाहिए → LCM। प्रश्न को ध्यान से पढ़ें!
अगर शेषफल दिया है: LCM + शेषफल। अगर शेषफल घटाना है: संख्या - शेषफल का HCF।
खुद की संख्याएँ डालकर HCF और LCM तुरंत निकालें!
संख्याएँ डालें (comma से अलग करें):
संख्याएँ डालें (comma से अलग करें):
कोई संख्या डालें और उसका गुणनखंड वृक्ष देखें:
पहली भिन्न:
दूसरी भिन्न:
परीक्षा से पहले यह पेज एक बार जरूर पढ़ें!
• HCF = सबसे बड़ी संख्या जो सभी को बाँट दे (Greatest Common Divisor)
• LCM = सबसे छोटी संख्या जिससे सभी बँट जाएँ (Least Common Multiple)
• a × b = HCF(a,b) × LCM(a,b)
• HCF(भिन्न) = HCF(अंश) / LCM(हर)
• LCM(भिन्न) = LCM(अंश) / HCF(हर)
• HCF(a,b,c) = HCF(HCF(a,b), c)
• LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b), c)
• Listing: सभी factors/multiples लिखो → common ढूँढो
• Prime Factorization: HCF = common की lowest power, LCM = सभी की highest power
• Division: HCF = Euclid's algorithm, LCM = common division method
• HCF: बड़ा/maximum/greatest/बाँटना/समूह/माप
• LCM: छोटा/minimum/least/एक साथ/फिर मिलना
• Co-prime: HCF = 1, LCM = गुणनफल
• एक संख्या दूसरी का multiple: HCF = छोटी, LCM = बड़ी
• दशमलव: समान decimal place → पूर्णांक → HCF/LCM → decimal वापस
❌ 3+ संख्याओं के लिए a×b = HCF×LCM लगाना
❌ भिन्नों में formula उल्टा लगाना
❌ दशमलव में decimal place भूल जाना
❌ HCF और LCM confuse करना
🎤 "HCF है छोटा, LCM है बड़ा — यह rule कभी न भूलना!"
आपकी तैयारी पूर्ण है। अब confidence के साथ परीक्षा दें! 🚀